Questão 31. Sejam A um anel com identidade e I um ideal em A. Mostre que 1 \in I se, e somente se, I=A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num anel A com elemento identidade 1 e ideal I, vale
1 \in I \quad\Longleftrightarrow\quad I = A.
Vamos usar a definição de ideal (fechado sob soma e tal que a\in A,\;x\in I\implies ax\in I).

Passo 2

Se I = A, então todo elemento de A está em I. Em particular, como 1\in A, segue imediatamente que 1 \in I.

Passo 3

Suponha agora que 1 \in I. Para provar I = A, tome um a\in A qualquer. Como I é ideal e 1\in I, temos
a = a\cdot 1 \;\in\; A\cdot I \;=\; I.
Portanto A\subseteq I. Como sempre vale I\subseteq A, concluímos I=A.

Resposta

Ficou demonstrado que 1\in I se, e somente se, I=A.

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