Questão 32. Encontre constantes \alpha, \beta de modo que \mu(x, y)=x^{\alpha} y^{\beta} seja um fator integrante para
x(4 y d x+2 x d y)+y^{3}(3 y d x+5 x d y)=0 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar constantes \alpha e \beta tais que a função
\mu(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta}
seja fator integrante da diferencial
x\bigl(4y\,dx+2x\,dy\bigr)+y^{3}\bigl(3y\,dx+5x\,dy\bigr)=0.
O conteúdo é “fatores integrantes do tipo monômio” e vamos usar a condição de exatidão após multiplicar pela \mu.

Passo 2

Identificamos as componentes da forma diferencial original como
M(x,y)=4xy+3y^{4}, \qquad N(x,y)=2x^{2}+5xy^{3}.

Passo 3

Multiplicamos por \mu e obtém-se
\widetilde M = x^{\alpha}y^{\beta}\bigl(4xy+3y^{4}\bigr) =4x^{\alpha+1}y^{\beta+1}+3x^{\alpha}y^{\beta+4},
\widetilde N = x^{\alpha}y^{\beta}\bigl(2x^{2}+5xy^{3}\bigr) =2x^{\alpha+2}y^{\beta}+5x^{\alpha+1}y^{\beta+3}.

Passo 4

Para ser exata, precisa valer
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} =\frac{\partial \widetilde N}{\partial x}.

Passo 5

Calculamos cada derivada:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} =4(\beta+1)x^{\alpha+1}y^{\beta} +3(\beta+4)x^{\alpha}y^{\beta+3},
\frac{\partial \widetilde N}{\partial x} =2(\alpha+2)x^{\alpha+1}y^{\beta} +5(\alpha+1)x^{\alpha}y^{\beta+3}.

Passo 6

Igualando coeficientes de x^{\alpha+1}y^{\beta} e de x^{\alpha}y^{\beta+3}, obtemos o sistema
4(\beta+1)=2(\alpha+2), \qquad 3(\beta+4)=5(\alpha+1).

Passo 7

Da primeira equação vem
4\beta+4=2\alpha+4 \;\Longrightarrow\; 2\beta=\alpha.
Substituindo na segunda:
3(\beta+4)=5(2\beta+1) \;\Longrightarrow\; 3\beta+12=10\beta+5 \;\Longrightarrow\; -7\beta=-7 \;\Longrightarrow\; \beta=1,
logo \alpha=2\beta=2.

Resposta

\alpha=2,\\ \beta=1.

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