Questão 33. Uma região R do plano x y é dada. Determine equações para a transformação T que mapeia uma região retangular S no plano u v sobre R, onde todos os lados de S são paralelos aos eixos u e v.
R é limitado pelos hipérboles y=1 / x e y=4 / x e pelas retas y=x e y=4 x.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação T\colon (u,v)\mapsto(x,y) que leve um retângulo S no plano uv numa região R no plano xy. A região R é dada por
y=\tfrac1x,\quad y=\tfrac4x,\quad y=x,\quad y=4x.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, mas aqui só precisamos achar a forma de T.

Passo 2

Note que as curvas y=\tfrac1x e y=\tfrac4x são equivalentes a
xy=1,\quad xy=4,
e que as retas y=x e y=4x equivalem a
\frac yx = 1,\quad \frac yx = 4.
Isso sugere escolher variáveis u e v que sejam exatamente essas combinações constantes.

Passo 3

Definimos
u = x\,y, \quad v = \frac yx.
Então as fronteiras de R passam a ser retas no plano uv:
u=1,\;u=4,\;v=1,\;v=4,
ou seja, S=\{(u,v)\mid 1\le u\le4,\;1\le v\le4\}.

Passo 4

Para expressar (x,y) em função de (u,v), usamos
u = x\,y, \quad v = \frac yx \quad\Longrightarrow\quad y = v\,x,
então
u = x\cdot(v\,x) = v\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac u v \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{\frac u v},
e daí
y = v\,x = v\,\sqrt{\frac u v} = \sqrt{u\,v}.

Resposta

As equações da transformação T são
x = \sqrt{\frac{u}{v}}, \qquad y = \sqrt{u\,v},
com (u,v) variando no retângulo
1 \le u \le 4,\quad 1 \le v \le 4.

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