Questão 33. Uma região
do plano
é dada. Determine equações para a transformação
que mapeia uma região retangular
no plano
sobre
, onde todos os lados de
são paralelos aos eixos
e
.
é limitado pelos hipérboles
e
e pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação
que leve um retângulo
no plano
numa região
no plano
. A região
é dada por
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, mas aqui só precisamos achar a forma de
.
Passo 2
Note que as curvas
e
são equivalentes a
e que as retas
e
equivalem a
Isso sugere escolher variáveis
e
que sejam exatamente essas combinações constantes.
Passo 3
Definimos
Então as fronteiras de
passam a ser retas no plano
:
ou seja,
.
Passo 4
Para expressar
em função de
, usamos
então
e daí
Resposta
As equações da transformação
são
com
variando no retângulo