Use a transformação dada para calcular a integral.
\iint_{D}(4 x+8 y) d A, em que D é o paralelogramo de vértices (-1,3),(1,-3),(3,-1) e (1,5); x=\frac{1}{4}(4-v), y=\frac{1}{4}(v-3 u).

Passo 1

O enunciado pede
I=\iint_{D}(4x+8y)\,dA
onde D é o paralelogramo de vértices (-1,3), (1,-3), (3,-1) e (1,5).
Temos à disposição a transformação
x=\frac{4-v}{4},\quad y=\frac{v-3u}{4},
isto é, (x,y)=T(u,v). Para usar essa mudança de variáveis, vamos precisar de (i) calcular o jacobiano \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}, (ii) reescrever o integrando em u,v e (iii) determinar a região E em uv-plano (imagem inversa de D).

Passo 2

Calculemos o jacobiano
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac14\\\\ -\tfrac34 & \tfrac14 \end{pmatrix} =0\cdot\tfrac14-(-\tfrac14)(-\tfrac34)=-\tfrac3{16}.
Logo \bigl|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigr|=\tfrac3{16}.
O integrando em x,y era 4x+8y. Em u,v:
4x+8y =4\Bigl(\frac{4-v}{4}\Bigr)+8\Bigl(\frac{v-3u}{4}\Bigr) =(4-v)+2(v-3u)=4+v-6u.
Portanto
I =\iint_{D}(4x+8y)\,dA =\iint_{E}\bigl(4+v-6u\bigr)\;\Bigl|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Bigr|\;du\,dv =\frac3{16}\iint_{E}(4+v-6u)\,du\,dv.

Passo 3

A região E\subset\mathbb R^2_{uv} é o paralelogramo imagem inversa de D. Em vez de montar limites explícitos, aproveitamos que
  • (4+v-6u) é função afim em (u,v),
  • E é um paralelogramo.
Nesses casos vale
\iint_{E}g(u,v)\,du\,dv =g\bigl(\text{centroide}(E)\bigr)\,\Area(E).
Para achar \Area(E) usamos que \Area(D)=16 (determinante das duas arestas do paralelogramo em xy) e que \Area(D)=\displaystyle\iint_{E}\bigl|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigr|\,du\,dv =\tfrac3{16}\,\Area(E).
Logo
\Area(E)=\frac{\Area(D)}{3/16}=\frac{16}{3/16}=16\cdot\frac{16}{3}=\frac{256}{3}.
Falta o centroide de E. Dos quatro vértices (u,v) mapeados, obtém-se (por média das coordenadas)
(u_{\mathrm{c}},v_{\mathrm{c}}) =\Bigl(-\tfrac43,\,0\Bigr).

Passo 4

Avalie g(u,v)=4+v-6u no centroide de E:
g\bigl(-\tfrac43,0\bigr) =4+0-6\bigl(-\tfrac43\bigr)=4+8=12.
Logo
\iint_{E}(4+v-6u)\,du\,dv =12\;\Area(E) =12\;\frac{256}{3} =\frac{3072}{3}=1024.
E finalmente
I =\frac3{16}\cdot1024 =3\cdot64 =192.

Resposta

192

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