Questão 33. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\left{ \begin{aligned} 2 x y y^{\prime}+x^{2} & =y^{2} \\ y(0) & =1\end{aligned} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} 2x\,y\,\dfrac{dy}{dx}+x^2 = y^2,\\\ y(0)=1, \end{cases}
ou seja, é uma equação diferencial de primeira ordem, quase homogênea, e precisamos ver se existe solução passando por (0,1).

Passo 2

Antes de tentar integrar, verificamos se a condição inicial é compatível com a equação. Substituindo x=0 na equação original
2\cdot 0 \cdot y(0)\,y'(0) + 0^2 = y(0)^2
ficamos com
0 = y(0)^2,
logo y(0)=0. Isso entra em contradição com y(0)=1. Portanto já não há solução que satisfaça a condição inicial.

Passo 3

Para completar a análise, vamos encontrar a solução geral (onde x\neq0 e y\neq0). Reescrevemos
2x\,y\,\frac{dy}{dx} = y^2 - x^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2x\,y}.
Essa forma sugere a substituição homogênea \displaystyle v=\frac{y}{x}, ou seja, y=v\,x.

Passo 4

Calculamos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx},
e substituímos em
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{(v^2x^2 - x^2)}{2x\cdot v\,x} = \frac{v^2-1}{2v}.
Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2-1}{2v}-v = -\frac{v^2+1}{2v},
\frac{2v}{v^2+1}\,dv = -\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{2v}{v^2+1}\,dv = \ln\bigl(v^2+1\bigr), \quad \int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C.
Logo
\ln\bigl(v^2+1\bigr) = -\ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad v^2+1 = \frac{A}{x},
com A=e^C. Voltando a y=v\,x:
\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{\!2} + 1 = \frac{A}{x} \quad\Longrightarrow\quad y^2 = A\,x - x^2.

Passo 6

A condição y(0)=1 exigiria 1^2 = A\cdot0 - 0^2 = 0, o que é impossível. Além disso, a própria equação em x=0 forçaria y(0)=0. Concluímos que não existe solução que passe por (0,1).

Resposta

Não existe solução do problema de valor inicial dado.

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