Questão 33. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\left{ \begin{aligned} y^{\prime}+y & =\cos (x) \\ y(0) & =1 / 2\end{aligned} \quad\left(\right.\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' + y = \cos(x),
com condição y(0)=\tfrac12.
Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int 1\,dx} = e^x.
Multiplicando a equação por \mu(x), obtemos
e^x y' + e^x y = e^x\cos(x).
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^x y:
\frac{d}{dx}\bigl(e^x y\bigr) = e^x\cos(x).

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^x y\bigr)\,dx = \int e^x\cos(x)\,dx.
A integral do lado direito é clássica por partes ou lembrança padrão:
\int e^x\cos(x)\,dx = \frac{e^x}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C.
Logo
e^x y = \frac{e^x}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C,
e a solução geral é
y(x) = \frac{1}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C\,e^{-x}.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=\tfrac12:
y(0) = \frac{1}{2}\bigl(\sin0+\cos0\bigr) + C = \frac{1}{2}(0+1) + C = \frac12 + C = \frac12.
Logo C=0.

Resposta

y(x) = \tfrac12\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr).

Exercícios relacionados