Questão 33 S e \prod_{i=1}^{n} A_{i} é um conjunto enumerável, mostre que, para cada i, A_{i} é enumerável.

Passo 1

O enunciado dá que o produto finito \prod_{i=1}^{n} A_{i} é um conjunto enumerável. O que se pede: mostrar que, para cada índice i fixo, o conjunto A_{i} também é enumerável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há um número finito n.
  • Sabe-se que \prod_{i=1}^{n} A_{i} é enumerável (ou seja, é finito ou numerável por bijeção com os naturais).
  • Precisa-se provar a afirmativa para cada i\in\{1,\dots,n\}.
Observação importante (vou deixar clara já aqui): se \prod_{i=1}^{n} A_{i}=\varnothing então pelo menos um dos A_{i} é vazio; o conjunto vazio é finito e portanto enumerável, mas isso não força outros fatores a serem enumeráveis. Por isso, a conclusão interessante e habitual que se prova é feita assumindo que o produto é enumerável e não vazio (ou, equivalente, que todos os A_i sejam não vazios). Abaixo tratei ambos os pontos: a observação sobre o caso vazio e, em seguida, a prova no caso não vazio.

Passo 2

Definições e lemmas que vamos usar (explicados devagarinho).
  • Definição de enumerável: um conjunto X é enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção de X com o conjunto dos naturais \mathbb{N}. Intuitivamente: dá para listar os elementos de X numa sequência (talvez terminando, se for finito).
  • Projeção canônica: para cada i define-se a aplicação \pi_i:\prod_{j=1}^{n} A_j \to A_i por \pi_i((a_1,\dots,a_n)) = a_i. Essa aplicação pega um n-tuplo e retorna a sua componente i.
  • Fato simples sobre imagens por aplicações: se f:X\to Y é sobrejetora (surjetiva) e X é enumerável, então Y também é enumerável. Vou provar esse fato mais adiante, porque é a peça chave.

Passo 3

Caso especial: o produto pode ser vazio.
  • Se \prod_{i=1}^{n} A_{i}=\varnothing, então existe pelo menos um k tal que A_k=\varnothing. O conjunto vazio é finito, logo enumerável, então para esse índice k a conclusão “ A_k é enumerável” é verdadeira.
  • Porém, esse caso não permite deduzir que todos os outros A_i são enumeráveis (ex.: A_1=\varnothing e A_2=\mathbb{R} \prod A_i=\varnothing enumerável, mas A_2=\mathbb{R} não é enumerável). Portanto, a implicação “produto enumerável \Rightarrow cada fator enumerável” só pode ser provada de forma geral quando o produto é enumerável e não vazio (ou então se supõe já que todos os fatores são não vazios). A partir daqui, suponho que \prod_{i=1}^{n} A_{i} é enumerável e não vazio.

Passo 4

Mostrando que as projeções \pi_i são sobrejetoras (explicação passo a passo).
  • Como \prod_{j=1}^{n} A_j não é vazio, existe pelo menos um elemento \mathbf{b}=(b_1,\dots,b_n)\in\prod_{j=1}^{n} A_j. Isso significa que cada b_j\in A_j.
  • Tome um índice fixo i e um elemento arbitrário a\in A_i. Considere o n-tuplo
    \mathbf{c}=(b_1,\dots,b_{i-1},a,b_{i+1},\dots,b_n).
  • Cada coordenada de \mathbf{c} pertence ao conjunto correspondente A_j (as coordenadas j\neq i são b_j que sabemos pertencerem a A_j; a coordenada i é a\in A_i), logo \mathbf{c}\in\prod_{j=1}^{n} A_j.
  • Aplicando a projeção, \pi_i(\mathbf{c})=a. Como a foi um elemento arbitrário de A_i, segue que \pi_i é sobrejetora: cada a\in A_i tem uma pré-imagem no produto.

Passo 5

Prova do lema: imagem sobrejetora de conjunto enumerável é enumerável.
  • Caso 1: X é finito. Então f(X)\subseteq X é também finito, logo enumerável.
  • Caso 2: X é numerável infinito. Então existe enumeração X=\{x_1,x_2,x_3,\dots\}. Considere a sequência f(x_1),f(x_2),f(x_3),\dots em Y=f(X).
    • Essa sequência pode ter repetições, mas podemos eliminar repetições mantendo a ordem da primeira ocorrência: percorre-se a sequência e escreve-se cada novo valor de f(x_k) somente na primeira vez que aparece. O resultado é uma sequência (finita ou infinita) que lista exatamente todos os elementos de Y.
    • Assim Y é enumerável (se a sequência ficar finita, Y é finito; caso contrário Y é numerável infinito).
  • Conclusão do lema: se f:X\to Y é sobrejetora e X é enumerável então Y é enumerável.

Passo 6

Aplicando o lema às projeções.
  • Para cada i, construímos \pi_i:\prod_{j=1}^{n} A_j\to A_i e mostramos que \pi_i é sobrejetora.
  • Como \prod_{j=1}^{n} A_j é enumerável por hipótese, o lema garante que a imagem A_i=\pi_i\bigl(\prod_{j=1}^{n} A_j\bigr) é enumerável.
  • Isso vale para todo i=1,\dots,n. Portanto cada fator A_i é enumerável.

Passo 7

Recapitulando em linguagem de prova curta (mas já explicada): assumindo \prod_{i=1}^n A_i enumerável e não vazio, a projeção canônica em cada coordenada é sobrejetora; imagem sobrejetora de conjunto enumerável é enumerável; logo cada A_i é enumerável. Se o produto for o vazio, então ao menos um fator é vazio (e portanto enumerável), mas não se pode concluir nada sobre os outros fatores.

Resposta

Para cada i, A_{i} é enumerável.

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