Questão 34 Mostre que a união finita ou enumerável de conjuntos Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}, \cdots, quaisquer é igual a uma união finita ou enumerável de conjuntos X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots, , dois a dois disjuntos e tais que X_{n} \subset Y_{n}, com n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma coleção finita ou enumerável de conjuntos Y_{1},Y_{2},\dots,Y_{n},\dots (ou seja, um conjunto de índices é finito ou é \mathbb{N}).
O que se pede: mostrar que existe outra coleção de conjuntos X_{1},X_{2},\dots,X_{n},\dots tais que
  • cada X_{n} está contido em Y_{n} (isto é, X_{n}\subset Y_{n} para todo n);
  • os X_{n} são dois a dois disjuntos (isto é, X_{m}\cap X_{n}=\varnothing para m\neq n);
  • a união dos X_{n} é igual à união dos Y_{n}, isto é,
\bigcup_{n} X_{n}=\bigcup_{n} Y_{n}.
Nada mais é dado além dos conjuntos Y_{n}. A prova deve construtivamente exibir os X_{n} e verificar as propriedades acima.

Passo 2

Idéia construtiva (definição dos X_n). Vamos construir os X_{n} removendo de cada Y_{n} os elementos que já apareceram nos conjuntos anteriores Y_{1},\dots,Y_{n-1}. Formalmente, defino:
X_{1}=Y_{1},
e para todo n\ge 2,
X_{n}=Y_{n}\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}Y_{k}.
Aqui usamos a diferença de conjuntos: para conjuntos A e B,
A\setminus B=\{x\mid x\in A\\ \text{e}\\ x\notin B\}.
A ideia é “colar” em ordem os Y_n e, a cada passo, manter só os elementos novos que ainda não apareceram.

Passo 3

Verificação imediata de X_{n}\subset Y_{n}.
Pela definição, cada X_{n} é obtido retirando elementos de Y_{n}; portanto, todo x\in X_{n} satisfaz x\in Y_{n}. Logo, para todo n,
X_{n}\subset Y_{n}.

Passo 4

Provar que os X_{n} são dois a dois disjuntos.
Tomemos m<n. Seja x\in X_{n}. Pela definição de X_{n},
x\notin \bigcup_{k=1}^{n-1}Y_{k}.
Em particular, x\notin Y_{m}. Mas X_{m}\subset Y_{m} (Passo 3), então x\notin X_{m}. Portanto não existe x que pertença simultaneamente a X_{n} e a X_{m} quando m<n. Isso prova que X_{m}\cap X_{n}=\varnothing para todo m\neq n. Assim os X_n são dois a dois disjuntos.

Passo 5

Mostrar a inclusão \displaystyle\bigcup_{n}X_{n}\subset\bigcup_{n}Y_{n}.
Isto é trivial porque, para cada n, X_{n}\subset Y_{n}. Tomando união em n obtemos imediatamente
\bigcup_{n}X_{n}\subset\bigcup_{n}Y_{n}.

Passo 6

Mostrar a inclusão oposta \displaystyle\bigcup_{n}Y_{n}\subset\bigcup_{n}X_{n}.
Seja x\in\bigcup_{n}Y_{n}. Então existe pelo menos um índice n tal que x\in Y_{n}. Considere o conjunto de índices onde x aparece:
S=\{k\in\mathbb{N}\mid x\in Y_{k}\}.
Esse conjunto S é não vazio por hipótese. Pelo princípio do bom ordenamento de \mathbb{N} (toda parte não vazia de \mathbb{N} tem menor elemento), existe um menor índice n_{0}=\min S. Assim x\in Y_{n_{0}} e, para todo k<n_{0}, x\notin Y_{k}. Isso significa exatamente que
x\in Y_{n_{0}}\setminus\bigcup_{k=1}^{n_{0}-1}Y_{k}=X_{n_{0}}.
Portanto x\in\bigcup_{n}X_{n}. Como x foi um elemento arbitrário de \bigcup_{n}Y_{n}, concluímos
\bigcup_{n}Y_{n}\subset\bigcup_{n}X_{n}.

Passo 7

Conclusão da igualdade das uniões e recapitulação.
Com os Passos 5 e 6 temos ambas as inclusões, portanto
\bigcup_{n}X_{n}=\bigcup_{n}Y_{n}.
Recapitulando: os conjuntos definidos por
X_{1}=Y_{1},\qquad X_{n}=Y_{n}\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}Y_{k}\\ \text{ para }n\ge 2
satisfazem todas as propriedades pedidas: cada X_{n}\subset Y_{n}, os X_{n} são dois a dois disjuntos, e a união das duas coleções coincide.

Passo 8

Observação sobre o caso finito e um exemplo concreto.
  • Se a coleção original é finita (índices 1,\dots,m), a mesma construção vale (a união do índice vai só até m); o princípio usado para escolher o menor índice é óbvio num conjunto finito.
  • Exemplo rápido para fixar a intuição: Y_{1}=\{1,2\},\\ Y_{2}=\{2,3\},\\ Y_{3}=\{1,4\}. Então
X_{1}=Y_{1}=\{1,2\},\quad X_{2}=Y_{2}\setminus Y_{1}=\{3\},\quad X_{3}=Y_{3}\setminus(Y_{1}\cup Y_{2})=\{4\}.
Os X_{n} são disjuntos e \bigcup_{n}X_{n}=\{1,2,3,4\}=\bigcup_{n}Y_{n}.

Resposta

X_{1}=Y_{1},\qquad X_{n}=Y_{n}\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}Y_{k}\quad(n\ge 2),
com
X_{n}\subset Y_{n},\quad X_{m}\cap X_{n}=\varnothing\\ (m\neq n), \quad\text{e}\quad \bigcup_{n}X_{n}=\bigcup_{n}Y_{n}.

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