Questão 34 Mostre que a união finita ou enumerável de conjuntos
, quaisquer é igual a uma união finita ou enumerável de conjuntos
, , dois a dois disjuntos e tais que
, com
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma coleção finita ou enumerável de conjuntos
(ou seja, um conjunto de índices é finito ou é
).
O que se pede: mostrar que existe outra coleção de conjuntos tais que
O que se pede: mostrar que existe outra coleção de conjuntos
- cada
está contido em (isto é, para todo ); - os
são dois a dois disjuntos (isto é, para ); - a união dos
é igual à união dos , isto é,
Nada mais é dado além dos conjuntos
. A prova deve construtivamente exibir os
e verificar as propriedades acima.
Passo 2
Idéia construtiva (definição dos
). Vamos construir os
removendo de cada
os elementos que já apareceram nos conjuntos anteriores
. Formalmente, defino:
e para todo
,
Aqui usamos a diferença de conjuntos: para conjuntos
e
,
A ideia é “colar” em ordem os
e, a cada passo, manter só os elementos novos que ainda não apareceram.
Passo 3
Verificação imediata de
.
Pela definição, cada é obtido retirando elementos de
; portanto, todo
satisfaz
. Logo, para todo
,
Pela definição, cada
Passo 4
Provar que os
são dois a dois disjuntos.
Tomemos . Seja
. Pela definição de
,
Tomemos
Em particular,
. Mas
(Passo 3), então
. Portanto não existe
que pertença simultaneamente a
e a
quando
. Isso prova que
para todo
. Assim os
são dois a dois disjuntos.
Passo 5
Mostrar a inclusão
.
Isto é trivial porque, para cada ,
. Tomando união em
obtemos imediatamente
Isto é trivial porque, para cada
Passo 6
Mostrar a inclusão oposta
.
Seja . Então existe pelo menos um índice
tal que
. Considere o conjunto de índices onde
aparece:
Seja
Esse conjunto
é não vazio por hipótese. Pelo princípio do bom ordenamento de
(toda parte não vazia de
tem menor elemento), existe um menor índice
. Assim
e, para todo
,
. Isso significa exatamente que
Portanto
. Como
foi um elemento arbitrário de
, concluímos
Passo 7
Conclusão da igualdade das uniões e recapitulação.
Com os Passos 5 e 6 temos ambas as inclusões, portanto
Com os Passos 5 e 6 temos ambas as inclusões, portanto
Recapitulando: os conjuntos definidos por
satisfazem todas as propriedades pedidas: cada
, os
são dois a dois disjuntos, e a união das duas coleções coincide.
Passo 8
Observação sobre o caso finito e um exemplo concreto.
- Se a coleção original é finita (índices
), a mesma construção vale (a união do índice vai só até ); o princípio usado para escolher o menor índice é óbvio num conjunto finito. - Exemplo rápido para fixar a intuição:
. Então
Os
são disjuntos e
.
Resposta
com