Questão 33. Seja A um anel comutativo com identidade. Mostre que u \in \mathcal{U}(A) se, e somente se, (u)=A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em um anel comutativo com identidade A, que um elemento u é invertível (isto é, u\in\mathcal{U}(A)) se, e somente se, o ideal principal gerado por u for todo o anel (isto é, (u)=A). Vamos usar as definições de unidade e de ideal gerado, bem como o fato de que um ideal I\subseteq A é igual a A exatamente quando 1\in I.

Passo 2

(“ \Rightarrow”) Suponha u\in\mathcal{U}(A). Então existe v\in A tal que
u v = 1.
Como 1 = u v\in (u), segue que 1\in(u) e, portanto, (u)=A.

Passo 3

(“ \Leftarrow”) Suponha (u)=A. Então 1\in (u), ou seja, existe v\in A com
u v = 1.
Logo v é inverso de u em A, o que implica u\in\mathcal{U}(A).

Resposta

Concluímos que u\in\mathcal{U}(A) se, e somente se, (u)=A.

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