Questão 33. Seja
um anel comutativo com identidade. Mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em um anel comutativo com identidade
, que um elemento
é invertível (isto é,
) se, e somente se, o ideal principal gerado por
for todo o anel (isto é,
). Vamos usar as definições de unidade e de ideal gerado, bem como o fato de que um ideal
é igual a
exatamente quando
.
Passo 2
(“
”) Suponha
. Então existe
tal que
Como
, segue que
e, portanto,
.
Passo 3
(“
”) Suponha
. Então
, ou seja, existe
com
Logo
é inverso de
em
, o que implica
.
Resposta
Concluímos que
se, e somente se,
.