Questão 34. Sejam A um anel comutativo com identidade e a, b \in A. Mostre que (a) \subseteq(b) se, e somente se, a=x b, para algum x \in A.

Passo 1

Estamos em um anel comutativo com identidade A e dados a,b\in A. Lembrando que o ideal principal gerado por a é
(a)=\{\,r\,a : r\in A\}
e de modo análogo (b)=\{\,s\,b : s\in A\}. Precisamos mostrar a equivalência
(a)\subseteq(b) \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,x\in A\colon a=xb.

Passo 2

(Prova de “ \Rightarrow”) Suponha que (a)\subseteq(b). Então, em particular, a\in(a) e, por inclusão, a\in(b). Mas pertencer a (b) significa que existe x\in A tal que
a = x\,b.
Isso mostra a primeira implicação.

Passo 3

(Prova de “ \Leftarrow”) Agora suponha que a = x\,b para algum x\in A. Seja um elemento genérico de (a), digamos r\,a com r\in A. Então
r\,a \;=\; r\,(x\,b)\;=\;(r\,x)\,b,
ou seja, r\,a\in(b). Como isso vale para todo gerador r\,a de (a), concluímos (a)\subseteq(b).

Resposta

Ficou demonstrado que (a)\subseteq(b) se, e somente se, existe x\in A tal que a = x\,b.

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