Questão 34. Insira três meios geométricos entre \frac{1}{27} e 3 .

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado claramente:
  • Pede-se para inserir três meios geométricos entre \dfrac{1}{27} e 3.
  • Informações dadas:
    • Primeiro termo (antes de inserir os meios): \dfrac{1}{27}.
    • Último termo (após inserir os meios): 3.
    • Devem ser inseridos exatamente três termos de modo que os cinco números (o inicial, os três meios e o final) formem uma progressão geométrica (razão constante).

Passo 2

O conceito e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum r.
  • Se tivermos um primeiro termo a e colocarmos n meios geométricos entre a e b, então teremos no total n+2 termos e a razão r satisfaz
a\,r^{\,n+1}=b.
Aqui:
  • a é o primeiro termo conhecido,
  • b é o último termo conhecido,
  • n é o número de meios geométricos a inserir,
  • r é a razão comum da PG.
  • Depois de encontrar r, os meios geométricos são
ar,\quad ar^{2},\quad \dots,\quad ar^{n}.
No nosso caso vamos inserir n=3 meios, portanto precisamos achar r tal que a\,r^{4}=b.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Aqui a=\dfrac{1}{27}, b=3 e n=3. Então:
\frac{1}{27}\,r^{4}=3.
  • Isolando r^{4}:
r^{4}=3\cdot 27.
  • Calcule 3\cdot 27:
3\cdot 27=81.
Então
r^{4}=81.

Passo 4

Resolver r^{4}=81:
  • Observe que 81=3^{4}. Então
r^{4}=3^{4}.
  • Da igualdade de potências segue que os valores reais de r que satisfazem essa equação são r=3 e r=-3, porque (3)^{4}=(\\ -3)^{4}=81.
  • Normalmente, em contextos onde se fala apenas em “meios geométricos” e os termos são positivos, toma-se a razão positiva r=3. Porém, matematicamente a razão negativa r=-3 também gera uma PG válida (com termos alternando sinais). Vou apresentar as duas possibilidades e explicar qual normalmente se aceita.

Passo 5

Calcular os três meios para a razão positiva r=3 (o caso mais usual):
  • Os meios são ar, ar^{2} e ar^{3} com a=\dfrac{1}{27}.
  • Calcule ar:
ar=\frac{1}{27}\cdot 3=\frac{1}{9}.
  • Calcule ar^{2}:
ar^{2}=\frac{1}{27}\cdot 3^{2}=\frac{1}{27}\cdot 9=\frac{1}{3}.
  • Calcule ar^{3}:
ar^{3}=\frac{1}{27}\cdot 3^{3}=\frac{1}{27}\cdot 27=1.
  • Verificação rápida da sequência inteira:
\frac{1}{27},\\ \frac{1}{9},\\ \frac{1}{3},\\\ 1,\\\ 3,
cada termo é obtido multiplicando o anterior por 3.

Passo 6

Calcular os três meios para a razão negativa r=-3 (opção alterna, termos alternam sinais):
  • Usando r=-3:
  • Primeiro meio:
ar=\frac{1}{27}\cdot(-3)=-\frac{1}{9}.
  • Segundo meio:
ar^{2}=\frac{1}{27}\cdot(-3)^{2}=\frac{1}{27}\cdot 9=\frac{1}{3}.
  • Terceiro meio:
ar^{3}=\frac{1}{27}\cdot(-3)^{3}=\frac{1}{27}\cdot(-27)=-1.
  • Sequência inteira:
\frac{1}{27},\\\ -\frac{1}{9},\\ \frac{1}{3},\\\ -1,\\\ 3,
cada termo é obtido multiplicando o anterior por -3.

Passo 7

Interpretação final e recomendação:
  • Se o enunciado espera meios geométricos positivos (caso mais comum), a resposta é a sequência com razão r=3: \dfrac{1}{9},\\ \dfrac{1}{3},\\\ 1.
  • Se o problema não proíbe termos negativos, há também a alternativa com r=-3: -\dfrac{1}{9},\\ \dfrac{1}{3},\\\ -1.
  • Vou apresentar ambas as respostas finais; escolha a que o seu professor espera (normalmente a primeira, com todos termos positivos).

Resposta

\dfrac{1}{9},\\ \dfrac{1}{3},\\\ 1
-\dfrac{1}{9},\\ \dfrac{1}{3},\\\ -1

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