Questão 34. Insira três meios geométricos entre
e 3 .
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado claramente:
- Pede-se para inserir três meios geométricos entre
e . - Informações dadas:
- Primeiro termo (antes de inserir os meios):
. - Último termo (após inserir os meios):
. - Devem ser inseridos exatamente três termos de modo que os cinco números (o inicial, os três meios e o final) formem uma progressão geométrica (razão constante).
- Primeiro termo (antes de inserir os meios):
Passo 2
O conceito e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum
. - Se tivermos um primeiro termo
e colocarmos meios geométricos entre e , então teremos no total termos e a razão satisfaz
Aqui:
-
é o primeiro termo conhecido, -
é o último termo conhecido, -
é o número de meios geométricos a inserir, -
é a razão comum da PG. - Depois de encontrar
, os meios geométricos são
No nosso caso vamos inserir
meios, portanto precisamos achar
tal que
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Aqui
, e . Então:
- Isolando
:
- Calcule
:
Então
Passo 4
Resolver
:
- Observe que
. Então
- Da igualdade de potências segue que os valores reais de
que satisfazem essa equação são e , porque . - Normalmente, em contextos onde se fala apenas em “meios geométricos” e os termos são positivos, toma-se a razão positiva
. Porém, matematicamente a razão negativa também gera uma PG válida (com termos alternando sinais). Vou apresentar as duas possibilidades e explicar qual normalmente se aceita.
Passo 5
Calcular os três meios para a razão positiva
(o caso mais usual):
- Os meios são
, e com . - Calcule
:
- Calcule
:
- Calcule
:
- Verificação rápida da sequência inteira:
cada termo é obtido multiplicando o anterior por
.
Passo 6
Calcular os três meios para a razão negativa
(opção alterna, termos alternam sinais):
- Usando
: - Primeiro meio:
- Segundo meio:
- Terceiro meio:
- Sequência inteira:
cada termo é obtido multiplicando o anterior por
.
Passo 7
Interpretação final e recomendação:
- Se o enunciado espera meios geométricos positivos (caso mais comum), a resposta é a sequência com razão
: . - Se o problema não proíbe termos negativos, há também a alternativa com
: . - Vou apresentar ambas as respostas finais; escolha a que o seu professor espera (normalmente a primeira, com todos termos positivos).