Considere a equação
.
Determine a raiz negativa de
usando o Método de Newton, com erro ingerior a
;
Determine a raiz negativa de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar a raiz negativa de
usando o Método de Newton, com erro inferior a
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é
. - Deve ser encontrada uma raiz negativa (ou seja, um
tal que ). - O método a usar é o Método de Newton (Newton–Raphson) com precisão (erro) menor que
.
Passo 2
Primeiro, vou verificar se existe alguma raiz negativa — isto é essencial antes de tentar aplicar qualquer método iterativo.
Observação simples sobre sinais: para qualquer
vale
. Assim, para
temos
Como
implica
, segue que para todo
Portanto
para todo
.
Conclusão desta etapa: não existe nenhum
tal que
. Ou seja, a função não possui raiz em
.
Passo 3
Interpretação do resultado em relação ao pedido: o enunciado pede uma raiz negativa, mas pelo argumento do Passo 2 não existe nenhuma raiz negativa (nem zero). Assim é impossível encontrar uma raiz negativa de
porque ela não existe. Antes de encerrar, aproveito para explicar didaticamente o Método de Newton (pois o enunciado pediu seu uso) e como ele se comportaria caso alguém tentasse aplicá-lo a partir de um chute inicial negativo.
Passo 4
Breve aula sobre o Método de Newton (Newton–Raphson), para você entender e poder aplicar na prova quando houver raiz:
- Ideia: aproximar a função por sua tangente em um ponto e usar a interseção da tangente com o eixo
como nova aproximação. A fórmula de iteração é
- Aqui,
é a derivada de . Para nossa função,
- Condições e observações práticas:
- A iteração faz sentido quando
. - Se
e têm sinais conhecidos, dá para prever a direção do próximo ponto . - Em geral, Newton converge rapidamente (ordem quadrática) quando a aproximação inicial está suficientemente perto de uma raiz simples e
não é nulo lá.
- A iteração faz sentido quando
Passo 5
Aplicando essas ideias ao nosso caso para entender o que aconteceria se tentássemos iniciar Newton a partir de um chute negativo
:
- Para todo
vimos que . - Para tais
, a derivada satisfaz (de fato sempre, sendo zero apenas quando , i.e. ). - Assim, para
tipicamente e , logo o quociente é não negativo, o que implica
Ou seja, uma sequência iniciada em um
tende a aumentar (move-se para a direita). Isso mostra intuitivamente que Newton, começando negativo, não ficará preso numa raiz negativa — ele tenderá a mover-se para a região positiva (se convergir) porque não existe raiz negativa para atraí-lo.
Passo 6
Conclusão final e resposta objetiva ao pedido do enunciado:
- Como demonstrado no Passo 2, não existe qualquer raiz negativa de
. - Portanto é impossível determinar (por Newton ou por qualquer outro método) uma raiz negativa porque ela não existe.
Se for útil para estudo: existe uma raiz positiva (única) dessa equação, e o Método de Newton pode ser aplicado para encontrá-la partindo de um chute inicial positivo; se você quiser, eu faço essa iteração passo a passo e obtenho a raiz positiva com erro menor que
.
Resposta
Não existe raiz negativa para
.