Considere a equação g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3.
Determine a raiz negativa de g(x) usando o Método de Newton, com erro ingerior a 10^{-5};

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3
e pede: determinar a raiz negativa de g(x) usando o Método de Newton, com erro inferior a 10^{-5}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3.
  • Deve ser encontrada uma raiz negativa (ou seja, um x<0 tal que g(x)=0).
  • O método a usar é o Método de Newton (Newton–Raphson) com precisão (erro) menor que 10^{-5}.

Passo 2

Primeiro, vou verificar se existe alguma raiz negativa — isto é essencial antes de tentar aplicar qualquer método iterativo.
Observação simples sobre sinais: para qualquer x\le 0 vale \operatorname{sen}(x)\le 0. Assim, para x\le 0 temos
g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3 \le x - 0 - 0,3 = x-0,3.
Como x\le 0 implica x-0,3\le -0,3, segue que para todo x\le 0
g(x)\le x-0,3 \le -0,3<0.
Portanto g(x)<0 para todo x\le 0.
Conclusão desta etapa: não existe nenhum x\le 0 tal que g(x)=0. Ou seja, a função não possui raiz em (-\infty,0].

Passo 3

Interpretação do resultado em relação ao pedido: o enunciado pede uma raiz negativa, mas pelo argumento do Passo 2 não existe nenhuma raiz negativa (nem zero). Assim é impossível encontrar uma raiz negativa de g porque ela não existe. Antes de encerrar, aproveito para explicar didaticamente o Método de Newton (pois o enunciado pediu seu uso) e como ele se comportaria caso alguém tentasse aplicá-lo a partir de um chute inicial negativo.

Passo 4

Breve aula sobre o Método de Newton (Newton–Raphson), para você entender e poder aplicar na prova quando houver raiz:
  • Ideia: aproximar a função por sua tangente em um ponto e usar a interseção da tangente com o eixo x como nova aproximação. A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)}.
  • Aqui, g'(x) é a derivada de g. Para nossa função,
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-\operatorname{sen}(x)-0,3\bigr)=1-\cos(x).
  • Condições e observações práticas:
    • A iteração faz sentido quando g'(x_n)\neq 0.
    • Se g(x_n) e g'(x_n) têm sinais conhecidos, dá para prever a direção do próximo ponto x_{n+1}.
    • Em geral, Newton converge rapidamente (ordem quadrática) quando a aproximação inicial está suficientemente perto de uma raiz simples e g' não é nulo lá.

Passo 5

Aplicando essas ideias ao nosso caso para entender o que aconteceria se tentássemos iniciar Newton a partir de um chute negativo x_0<0:
  • Para todo x\le 0 vimos que g(x)<0.
  • Para tais x, a derivada g'(x)=1-\cos(x) satisfaz g'(x)\ge 0 (de fato 1-\cos(x)\ge 0 sempre, sendo zero apenas quando \cos(x)=1, i.e. x=2k\pi).
  • Assim, para x_n\le 0 tipicamente g(x_n)<0 e g'(x_n)\ge 0, logo o quociente -\dfrac{g(x_n)}{g'(x_n)} é não negativo, o que implica
x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)}\ge x_n.
Ou seja, uma sequência iniciada em um x_0<0 tende a aumentar (move-se para a direita). Isso mostra intuitivamente que Newton, começando negativo, não ficará preso numa raiz negativa — ele tenderá a mover-se para a região positiva (se convergir) porque não existe raiz negativa para atraí-lo.

Passo 6

Conclusão final e resposta objetiva ao pedido do enunciado:
  • Como demonstrado no Passo 2, não existe qualquer raiz negativa de \;g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3.
  • Portanto é impossível determinar (por Newton ou por qualquer outro método) uma raiz negativa porque ela não existe.
Se for útil para estudo: existe uma raiz positiva (única) dessa equação, e o Método de Newton pode ser aplicado para encontrá-la partindo de um chute inicial positivo; se você quiser, eu faço essa iteração passo a passo e obtenho a raiz positiva com erro menor que 10^{-5}.

Resposta

Não existe raiz negativa para g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3.

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