Questão 35. Sejam
uma reta no plano e
um ponto que não pertence a
. Seja
o ponto onde a reta
, perpendicular a
, que passa por
intersecta
. O simétrico ou refletido do ponto
em relação a uma reta
é o ponto
tal que
. Determine:
(a) o simétrico do ponto
em relação à reta
;
(b) a reta
simétrica a reta
:
em relação a reta
.
(a) o simétrico do ponto
(b) a reta
Passo 1
O enunciado pede (a) o reflexo do ponto
em relação à reta
e (b) a reta simétrica à reta
em relação à mesma reta
. O conteúdo é geometria analítica: reflexão de pontos e retas usando projeção ortogonal.
Passo 2
Para refletir um ponto em relação a
, primeiro achamos o pé da perpendicular
de
sobre
. A reta perpendicular a
passando por
tem coeficiente angular
, então sua equação é
Passo 3
O ponto
satisfaz simultaneamente
Igualando as expressões de
e multiplicando por 2,
Então
Passo 4
O reflexo
é tal que
é ponto médio de
. Logo
Passo 5
Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Para refletir a reta
, escolhemos dois pontos em
, refletimos cada um e depois determinamos a equação da reta que passa pelas imagens.
Passo 7
Tomemos
e
em
. Aplicando a fórmula de
:
- Para
: , dá
- Para
: , dá
Passo 8
A reta simétrica
passa por
e
. Seu coeficiente angular é
Usando
com
achamos
Resposta
(a) O reflexo de
em
é
(b) A reta simétrica
é