Questão 35. Sejam r uma reta no plano e P um ponto que não pertence a r. Seja Q in r o ponto onde a reta r^prime, perpendicular a r, que passa por P intersecta r. O simétrico ou refletido do ponto P em relação a uma reta r é o ponto P^prime in r^prime tal que d(P, Q)=d(P^prime, Q). Determine:
(a) o simétrico do ponto P=(a, b) em relação à reta r: y=2 x+1;
(b) a reta tildes simétrica a reta s : y=4 x-3 em relação a reta r: y=2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede (a) o reflexo do ponto P=(a,b) em relação à reta rcolon y=2x+1 e (b) a reta simétrica à reta scolon y=4x-3 em relação à mesma reta r. O conteúdo é geometria analítica: reflexão de pontos e retas usando projeção ortogonal.

Passo 2

Para refletir um ponto em relação a r, primeiro achamos o pé da perpendicular Q de P sobre r. A reta perpendicular a r passando por P tem coeficiente angular -tfrac12, então sua equação é
y - b = -tfrac12(x - a)

Passo 3

O ponto Q satisfaz simultaneamente
y = 2x + 1, y = b - tfrac12(x - a)
Igualando as expressões de y e multiplicando por 2,
2b - (x - a) = 4x + 2 ;Longrightarrow; -5x = 2 - 2b - a ;Longrightarrow; xQ = 2b + a - 25
Então
yQ = 2xQ + 1 = 2(a + 2b - 2)5 + 1 = 2a + 4b + 15

Passo 4

O reflexo P' é tal que Q é ponto médio de PP'. Logo
P' = l(2xQ - a,;2yQ - br)

Passo 5

Substituindo xQ e yQ obtemos
P' = l(tfrac2(a+2b-2)5-a,;tfrac2(2a+4b+1)5-br) = l(tfrac-3a+4b-45,;tfrac4a+3b+25r)

Passo 6

Para refletir a reta s, escolhemos dois pontos em s, refletimos cada um e depois determinamos a equação da reta que passa pelas imagens.

Passo 7

Tomemos A=(0,-3) e B=(1,1) em scolon y=4x-3. Aplicando a fórmula de P':
  • Para A: a=0, b=-3
A'=l(tfrac-3cdot0+4(-3)-45,;tfrac4cdot0+3(-3)+25r) =l(-tfrac165,,-tfrac75r)
  • Para B: a=1, b=1
B'=l(tfrac-3+4-45,;tfrac4+3+25r) =l(-tfrac35,;tfrac95r)

Passo 8

A reta simétrica tilde s passa por A' e B'. Seu coeficiente angular é
m = tfrac95-l(-tfrac75r)-tfrac35-l(-tfrac165r) = 16/513/5 = 1613
Usando y = mx + b com B'(-tfrac35,tfrac95) achamos
b = 95 - 1613l(-tfrac35r) = 11765 + 4865 = 16565 = 3313

Resposta

(a) O reflexo de P=(a,b) em r é
P' = l(tfrac-3a+4b-45,;tfrac4a+3b+25r)
(b) A reta simétrica tilde s é
tilde scolon y = 1613,x + 3313

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