Dado o plano pi de equação 2 x-y+3 z=6, verifique se o ponto A(1,0,2) pertence ao plano e determine um vetor normal ao plano.

Passo 1

O enunciado dá o plano pi de equação
2x - y + 3z = 6
e pede duas coisas: verificar se o ponto A(1,0,2) pertence a pi e encontrar um vetor normal ao plano. Em geometria analítica, um ponto (x0,y0,z0) pertence ao plano se, ao substituir suas coordenadas na equação, o lado esquerdo for igual ao termo independente. Além disso, um vetor normal ao plano é simplesmente o vetor cujas componentes são os coeficientes de x, y e z.

Passo 2

Para saber se A(1,0,2) está em pi, substituímos x=1, y=0 e z=2 na equação do plano:
2cdot1 - 0 + 3cdot2 = 2 + 0 + 6 = 8
Como 8 neq 6, o ponto A não satisfaz a equação do plano e, portanto, não pertence a pi.

Passo 3

A equação geral de um plano em R^3 é
ax + by + cz = d,
e um vetor normal a esse plano é
l(a,,b,,cr)
No nosso caso, a=2, b=-1 e c=3. Logo, um vetor normal ao plano pi é
l(2,,-1,,3r)

Resposta

O ponto A(1,0,2) não pertence ao plano pi.
Um vetor normal a pi é ,(2,-1,3).

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