Questão 36

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente até a última fila. Seja \underline{\mathrm{C}}(\underline{\mathrm{n}}) o número de cadeiras da sala em função de \underline{\mathrm{n}}, o número de filas que a sala contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de \underline{n}.
Resposta: \square 9

Passo 1

O enunciado diz que a primeira fila tem 8 cadeiras e cada fila seguinte tem 2 cadeiras a mais que a anterior. No total há 144 cadeiras e queremos achar o número de filas n. O conteúdo principal é soma de progressão aritmética (PA).

Passo 2

Identificamos a PA que descreve o número de cadeiras por fila:
a_1 = 8,\quad r = 2.

Passo 3

A soma dos n termos de uma PA é
S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr).
Substituindo a_1=8 e r=2,
S_n = \frac{n}{2}\bigl(2\cdot8 + (n-1)\cdot2\bigr) = \frac{n}{2}(16 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n + 14) = n(n + 7).

Passo 4

Queremos S_n=144, então
n(n + 7) = 144 \;\Longrightarrow\; n^2 + 7n - 144 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
\Delta = 7^2 - 4\cdot1\cdot(-144) = 49 + 576 = 625,
n = \frac{-7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-7 \pm 25}{2}.
Isso dá n = 9 ou n = -16. Como n deve ser positivo, temos n = 9.

Resposta

9

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