Questão 37

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Ache o número de triângulos determinados por 22 pontos distintos, 11 sobre uma reta e 11 sobre uma paralela á primeira.
Resposta: \square 1210

Passo 1

O enunciado dá 22 pontos distintos, sendo 11 sobre uma reta e 11 sobre outra reta paralela. Queremos contar quantos triângulos esses pontos determinam. Para isso usamos que qualquer três pontos formam um triângulo se, e somente se, não forem colineares. Então vamos contar todas as escolhas de três pontos e subtrair as escolhas em que os três estão na mesma reta.

Passo 2

O número total de maneiras de escolher três pontos dentre os 22 é dado por
\binom{22}{3} = \frac{22\cdot21\cdot20}{6} = 1540.

Passo 3

O número de escolhas de três pontos colineares na primeira reta é
\binom{11}{3} = \frac{11\cdot10\cdot9}{6} = 165,
e na segunda reta, da mesma forma,
\binom{11}{3} = 165.
Portanto o total de escolhas colineares é 165 + 165 = 330.

Passo 4

Subtraindo as escolhas colineares do total de triplas, obtemos o número de triângulos:
1540 - 330 = 1210.

Resposta

1210

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