Questão 37

Rafael tem um sítio com duas casas, a casa principal é ligada à companhia de energia elétrica enquanto a outra tem seu fornecimento de energia proveniente de uma ligação simples com a casa principal. Para fazer a ligação entre as casas foram necessários 43 metros de fios condutores de alumínio. Observando a tabela de resistividade elétrica, Rafael pôde constatar que poderia ter conseguido uma resistência elétrica equivalente aos fios de alumínio utilizando uma quantidade maior de fios de cobre com a mesma espessura. Nesse caso, quantos metros de fio de cobre Rafael poderia ter comprado para que obtivesse uma resistência elétrica igual à fornecida pelos 43 metros de fio de alumínio?
Material
Resistividade
Elétrica \boldsymbol{\rho}(\boldsymbol{\Omega} . \mathbf{m})
Prata 1,47 \cdot 10^{-8}
Cobre 1,72 \cdot 10^{-8}
Ouro 2,44 \cdot 10^{-8}
Alumínio 2,75 \cdot 10^{-8}
A) 48,93 \mathrm{~m}.
B) 53,79 \mathrm{~m}.
C) 68,75 \mathrm{~m}.
D) 203,39 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente troque os 43 metros de fio de alumínio por um fio de cobre da mesma seção e obtenha exatamente a mesma resistência elétrica. O conteúdo usado aqui é a fórmula da resistência de um condutor uniforme, que depende da resistividade do material, do comprimento e da área da seção.

Passo 2

A resistência R de um fio de seção transversal A, comprimento L e resistividade \rho é dada por
R = \frac{\rho\,L}{A}.
Como a seção A será a mesma para os dois fios, podemos usar essa relação para igualar a resistência do alumínio à do cobre.

Passo 3

Seja L_{\mathrm{Al}}=43 m o comprimento de alumínio e \rho_{\mathrm{Al}}=2,75\times10^{-8}\,\Omega\!\cdot\!\mathrm{m}, e L_{\mathrm{Cu}} o comprimento de cobre com \rho_{\mathrm{Cu}}=1,72\times10^{-8}\,\Omega\!\cdot\!\mathrm{m}. Igualando as resistências:
\frac{\rho_{\mathrm{Al}}\,L_{\mathrm{Al}}}{A} = \frac{\rho_{\mathrm{Cu}}\,L_{\mathrm{Cu}}}{A} \quad\Longrightarrow\quad L_{\mathrm{Cu}} = \frac{\rho_{\mathrm{Al}}}{\rho_{\mathrm{Cu}}}\;L_{\mathrm{Al}}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
L_{\mathrm{Cu}} = \frac{2,75\times10^{-8}}{1,72\times10^{-8}} \times 43 \approx 1{,}5988 \times 43 \approx 68{,}75\text{ m}.

Resposta

C) 68,75\,\mathrm{m}.

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