Questão 37. Sejam A um anel comutativo com identidade e I, J ideais em A.
a) Mostre que I J \subseteq I \cap J. Em particular, mostre que se I+J=A, então I J=I \cap J.
b) Mostre que I \cup J é um ideal em A se, e somente se, I \subseteq J ou J \subseteq I.
Note, como uma consequência do item (a), que para cada ideal I em A, obtemos uma cadeia descendente de ideais em A, a saber,
O enunciado está em teoria de anéis comutativos e trata de duas propriedades de ideais. No item (a) precisamos mostrar que o produto de ideais \,I J\subseteq I\cap J, e, quando I+J=A, provar a igualdade I J=I\cap J. No item (b) devemos caracterizar quando a união I\cup J é ideal, mostrando que isso acontece exatamente se um ideal contém o outro.
Passo 2
Provar I J\subseteq I\cap J.
Por definição,
I J=\Bigl\{\sum_{k=1}^{n}a_k b_k \Bigm| a_k\in I,\;b_k\in J,\;n\in\mathbb{N}\Bigr\}.
Se x=\sum_{k=1}^{n}a_k b_k\in I J, então cada a_k b_k\in I porque I é ideal e b_k\in A. Logo x\in I. De modo análogo, cada a_k b_k\in J pois J é ideal e a_k\in A, então x\in J. Concluímos
x\in I\cap J \quad\Longrightarrow\quad I J\subseteq I\cap J.
Passo 3
Suponha agora I+J=A. Então existem i\in I e j\in J tais que
i+j=1.
Se c\in I\cap J, escrevemos
c = c\cdot1 = c(i+j) = ci + cj.
Como c\in I e i\in I, temos ci\in I^2\subseteq I J. E como c\in J e j\in J, temos cj\in J^2\subseteq I J. Assim
c = ci + cj \in I J,
mostrando I\cap J\subseteq I J. Juntando com o passo anterior, obtém-se
I J = I\cap J.
Passo 4
Caracterizar quando I\cup J é ideal.
(⇒) Suponha I\cup J seja ideal e que nenhum contenha o outro. Então existem
x\in I\setminus J \quad\text{e}\quad y\in J\setminus I.
Como x,y\in I\cup J, a soma x+y também está em I\cup J. Se x+y\in I, então
y = (x+y)-x \in I,
contradição com y\notin I. Se x+y\in J, então
x = (x+y)-y \in J,
contradição com x\notin J. Logo não pode ocorrer que nem I\subseteq J nem J\subseteq I.
(⇐) Se I\subseteq J, então I\cup J = J, que é ideal. O caso J\subseteq I é análogo.
Passo 5
Consequência do item (a): para qualquer ideal I, definindo inductivamente
I^1 = I, \quad I^{n+1} = I\cdot I^n,
temos sempre I^{n+1}\subseteq I^n. Portanto a sequência
I \supseteq I^2 \supseteq I^3 \supseteq \cdots
é uma cadeia descendente de ideais em A.
Resposta
a) Mostramos primeiro que I J\subseteq I\cap J por fechar sob soma e produto em cada ideal. Se I+J=A, usando 1=i+j com i\in I, j\in J provamos também I\cap J\subseteq I J, logo I J=I\cap J.
b) Demonstramos que I\cup J é ideal somente se um dos ideais contém o outro; nos demais casos a soma de um elemento de cada produz contradição.