Questão 38 - (PUC RJ/2010)

Os vencedores da prova de 100 m rasos são chamados de homem/mulher mais rápidos do mundo. Em geral, após o disparo e acelerando de maneira
constante, um bom corredor atinge a velocidade máxima de 12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a 36,0 \mathrm{~m} do ponto de partida. Esta velocidade é mantida por 3,0s. A partir deste ponto o corredor desacelera também de maneira constante com a =-0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} completando a prova em aproximadamente 10s. É correto afirmar que a aceleração nos primeiros 36,0 \mathrm{~m}, a distância percorrida nos 3,0 s seguintes e a velocidade final do corredor ao cruzar a linha de chegada são, respectivamente:
a) 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 36,0 \mathrm{~m} ; 10,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
b) 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 38,0 \mathrm{~m} ; 21,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
c) 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 72,0 \mathrm{~m} ; 32,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
d) 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 36,0 \mathrm{~m} ; 10,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
e) 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 38,0 \mathrm{~m} ; 21,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado descreve três trechos do movimento de um corredor numa prova de 100 m:
  1. Trecho de aceleração uniforme do repouso até v=12{,}0\\ \mathrm{m/s} em s_{1}=36{,}0\\ \mathrm{m}.
  2. Manutenção de v=12{,}0\\ \mathrm{m/s} por t_{2}=3{,}0\\ \mathrm{s}.
  3. Desaceleração uniforme com a_{3}=-0{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}} até a linha de chegada (totalizando 100 m).
    Precisamos calcular:
  • A aceleração a_{1} no primeiro trecho.
  • A distância s_{2} percorrida no segundo trecho.
  • A velocidade final v_{f} ao cruzar a linha de chegada.

Passo 2

Para achar a_{1} usamos a equação cinemática
v^{2}=v_{0}^{2}+2\,a_{1}\,s_{1}.
Como v_{0}=0, v=12{,}0\\ \mathrm{m/s} e s_{1}=36{,}0\\ \mathrm{m},
(12{,}0)^{2}=0+2\,a_{1}\,(36{,}0) \quad\Longrightarrow\quad 144 = 72\,a_{1} \quad\Longrightarrow\quad a_{1}=2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

No segundo trecho a velocidade é constante v=12{,}0\\ \mathrm{m/s} durante t_{2}=3{,}0\\ \mathrm{s}. Logo
s_{2}=v\,t_{2}=12{,}0\cdot 3{,}0 =36{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

O restante da prova tem distância
s_{3}=100 - (s_{1}+s_{2}) =100 - (36{,}0+36{,}0) =28{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Na desaceleração, com v_{0}=12{,}0\\ \mathrm{m/s}, a_{3}=-0{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}} e s_{3}=28{,}0\\ \mathrm{m}, usamos
v_{f}^{2}=v_{0}^{2}+2\,a_{3}\,s_{3} =144 +2\cdot(-0{,}5)\cdot 28 =144 -28 =116.
Portanto
v_{f}=\sqrt{116}\approx 10{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) 2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}};\\\ 36{,}0\\ \mathrm{m};\\\ 10{,}8\\ \mathrm{m/s}.

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