QUESTÃO 39

O tempo de fabricação de uma peça encontra-se no intervalo 0 \leq T \leq 6, onde T é o tempo em minutos. A máquina que a fábrica utiliza tem o número de rotações R_{1} em função de T, expresso por R(T)=T .(6-T)^{2}. A rotação será máxima quando T for igual a
(A) 2 minutos.
(B) 3 minutos.
(C) 4 minutos.
(D) 5 minutos.
(E) 6 minutos.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de fabricação T está em [0,6] e a rotação da máquina é dada por
R(T)=T\,(6-T)^{2}.
Queremos encontrar o valor de T que maximiza R(T). Para isso, vamos usar cálculo de derivadas e o teste da segunda derivada (ou comparação de valores em pontos críticos e extremos).

Passo 2

Calculamos a derivada de R. Primeiro expandimos
R(T)=T\,(36 -12T +T^{2})=36T -12T^{2}+T^{3}.
Em seguida, derivamos termo a termo:
R'(T)=\frac{d}{dT}\bigl(36T -12T^{2}+T^{3}\bigr)=36 -24T +3T^{2}.

Passo 3

Encontramos as raízes de R'(T)=0:
3T^{2}-24T+36=0 \quad\Longrightarrow\quad T^{2}-8T+12=0.
Resolvendo a equação quadrática:
T=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{2}=\frac{8\pm4}{2},
logo os candidatos são T=2 e T=6. Também consideramos os extremos do intervalo: T=0 e T=6.

Passo 4

Avaliamos R(T) em T=0,2,6:
R(0)=0\cdot6^{2}=0,\quad R(2)=2\cdot4^{2}=32,\quad R(6)=6\cdot0^{2}=0.
O maior valor é 32, obtido em T=2.

Resposta

(A) 2 minutos.

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