QUESTÃO 40

Ao dimensionar um eixo de um determinado material, pode-se optar por utilizar uma barra de seção circular maciça de diâmetro D ou um tubo de diâmetro externo e interno, D_{e} e d_{i}, respectivamente. Considerando \mathrm{D}=\mathrm{D}_{e}, analise as afirmativas a seguir.
l- O eixo feito com a barra maciça será mais resistente à torção, porque seu módulo de resistência à torção é maior que o do tubo.
II- O eixo feito com o tubo será mais resistente à torção, porque a distância do raio médio até a linha neutra é maior do que a da barra maciça.
III-: Em qualquer das duas opções, vale a relação T=\tau_{t} \cdot W_{t} onde T= torque, \tau_{t}= Tenção de Cisalhamento, W_{t}= Módulo de Resistência à torção.
IV- Não é possível prever qual opção será mais resistente à torção, uma vez que năo se conhece a relação di / De.
Assinale a opção correta.
(A) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
(B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
(C) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
(D) Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.
(E) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado compara dois eixos de mesmo diâmetro externo D: um eixo maciço e um tubo de diâmetro externo D_e = D e interno d_i. O conteúdo é resistência à torção, em que usamos o momento polar de inércia J e o módulo resistente à torção
W_t = \frac{J}{R}
para relacionar o torque T e a tensão de cisalhamento \tau_t pela fórmula
T = \tau_t \cdot W_t.

Passo 2

Calculemos o módulo resistente à torção de cada seção. Para o eixo maciço de raio R = D/2,
J_{\text{maciço}} = \frac{\pi D^4}{32}, \quad W_{t,\text{maciço}} = \frac{J_{\text{maciço}}}{R} = \frac{\pi D^4/32}{D/2} = \frac{\pi D^3}{16}.ççç

Passo 3

Para o tubo, com D_e = D e d_i, temos
J_{\text{tubo}} = \frac{\pi\bigl(D^4 - d_i^4\bigr)}{32}, \quad W_{t,\text{tubo}} = \frac{J_{\text{tubo}}}{D/2} = \frac{\pi\bigl(D^4 - d_i^4\bigr)/32}{D/2} = \frac{\pi}{16}\Bigl(D^3 - \frac{d_i^4}{D}\Bigr).

Passo 4

Comparemos W_{t,\text{maciço}}ç e W_{t,\text{tubo}}. Como d_i>0,
W_{t,\text{maciço}} - W_{t,\text{tubo}} = \frac{\pi D^3}{16} - \frac{\pi}{16}\Bigl(D^3 - \frac{d_i^4}{D}\Bigr) = \frac{\pi}{16}\,\frac{d_i^4}{D} >0.ç
Logo, o eixo maciço sempre tem módulo resistente maior, ou seja, é mais resistente à torção. Isso torna a afirmativa I verdadeira e a II falsa.

Passo 5

A afirmativa III afirma corretamente que em ambos os casos vale
T = \tau_t \cdot W_t,
que é a definição de módulo resistente à torção. Logo, III é verdadeira.

Passo 6

A afirmativa IV diz que não se pode prever qual será mais resistente sem conhecer d_i/D_e. Porém, mostramos que para qualquer 0<d_i<D, o eixo maciço é sempre mais resistente, portanto IV é falsa.

Resposta

(C) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

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