Questão 40. Sejam
números reais satisfazendo
. Verifique que a equação
pode ser reduzida pela transformação
em que (
) é uma solução do sistema
na equação diferencial homogênea
Como aplicação, determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial na forma
com
então a transformação
reduz a equação a
que é homogênea de grau 1 em ((x’,y’)]. Depois aplicaremos isso para resolver
Passo 2
Fazendo
temos
Como
satisfaz
, isso vira
. Analogamente
Logo a equação se torna
como queríamos.
Passo 3
Aplicação: resolvemos
Escrevendo em forma diferencial
, basta pôr
pois daí
Passo 4
Identificamos
Note que são funções lineares sem termo constante, i.e.\ já estão na forma
O determinante é
logo a teoria garante redução por translação. O sistema para
é
cuja única solução é
.
Passo 5
Para resolver uma equação homogênea de grau 1, usamos a substituição
Então
vira
Passo 6
Simplificando:
Divide por
:
Passo 7
Separamos variáveis e integramos:
No lado esquerdo,
E no lado direito
Logo
Passo 8
Voltando a
, obtemos a solução implícita
Podemos combinar termos:
com
.