Questão 39. Sejam
números reais satisfazendo
. Verifique que a equação
pode ser reduzida pela transformação
na equação diferencial de variável separável da forma
Como aplicação, resolva
Resp.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação
com a condição
. Queremos mostrar que, definindo
a equação se reduz a uma forma de variáveis separáveis em
e
. Em seguida, aplicaremos esse método ao exemplo
Passo 2
Como
temos
. Então
Logo a ODE original pode ser escrita como
Passo 3
Substituindo
obtemos
Agrupando termos em
e
,
Como
, o coeficiente de
depende só de
, mostrando que a equação é separável.
Passo 4
Uma equação na forma
pode ser rearranjada para
e integrada separadamente em
e
:
Passo 5
No caso
temos
,
,
,
e
. Como
, a equação fica
Então
Isso é separável. Reescrevendo
e integrando, chega-se a
Substituindo
e ajustando a constante, obtemos