Questão 41. Seja
a região do primeira quadrante do plano
delimitada pelas hipérboles
e as retas
e
. Utilize a transformação
para reescrever
como uma integral sobre uma região apropriada
no plano
. Em seguida calcule a integral sobre
. [Resp.:
.]
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região do primeiro quadrante limitada por
usando a transformação
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas: vamos encontrar a região
em
, calcular o jacobiano e reescrever integrando em
.
Passo 2
Primeiro, expressamos as curvas em termos de
e
. Como
as hipérboles
e
viram
As retas
e
dão
Logo a região
em
é o retângulo
Passo 3
Agora transformamos o integrando e achamos o jacobiano.
- A parte
fica
e
.
2. O jacobiano é
2. O jacobiano é
Assim
e o integrando total é
Passo 4
Montamos a integral em
:
Integramos primeiro em
:
Agora em
: