Questão 41. Seja R a região do primeira quadrante do plano x y delimitada pelas hipérboles x y=1, x y=9 e as retas y=x e y=4 x. Utilize a transformação x=u / v, y=u v \operatorname{com} u>0 \mathrm{e} v>0 para reescrever
\iint_{R}\left(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{x y}\right) d A
como uma integral sobre uma região apropriada S no plano u v. Em seguida calcule a integral sobre S. [Resp.: 8+\frac{52}{3} \ln 2.]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R}\Bigl(\sqrt{\tfrac{y}{x}}+\sqrt{x\,y}\Bigr)\,dA
onde R é a região do primeiro quadrante limitada por
x y = 1,\quad x y = 9,\quad y = x,\quad y = 4x
usando a transformação
x = \frac{u}{v},\quad y = u\,v,\quad u>0,\;v>0.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas: vamos encontrar a região S em (u,v), calcular o jacobiano e reescrever integrando em S.

Passo 2

Primeiro, expressamos as curvas em termos de u e v. Como
x\,y = \frac{u}{v}\cdot(u\,v)=u^2,
as hipérboles x y=1 e x y=9 viram
u^2=1\implies u=1,\qquad u^2=9\implies u=3.
As retas y=x e y=4x dão
u\,v = \frac{u}{v}\implies v^2=1\implies v=1,
u\,v = 4\,\frac{u}{v}\implies v^2=4\implies v=2.
Logo a região S em (u,v) é o retângulo
1\le u\le3,\quad 1\le v\le2.

Passo 3

Agora transformamos o integrando e achamos o jacobiano.
  1. A parte \sqrt{\tfrac{y}{x}} fica
\sqrt{\frac{u\,v}{u/v}}=\sqrt{v^2}=v,
e \sqrt{x\,y}=\sqrt{u^2}=u.
2. O jacobiano é
J=\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix} 1/v & -u/v^2\\[6pt] v & u \end{pmatrix} =\frac{u}{v}+\frac{u}{v}=\frac{2u}{v}.
Assim
dA = \frac{2u}{v}\,du\,dv
e o integrando total é
\bigl(v+u\bigr)\frac{2u}{v} =2\,\frac{u^2}{v}+2u.]

Passo 4

Montamos a integral em S:
\int_{v=1}^{2}\!\int_{u=1}^{3}\Bigl(2\frac{u^2}{v}+2u\Bigr)\,du\,dv.
Integramos primeiro em u:
\int_{1}^{3}\Bigl(2\frac{u^2}{v}+2u\Bigr)\,du =\Bigl[\frac{2u^3}{3v}+u^2\Bigr]_{1}^{3} =\Bigl(\frac{54}{3v}+9\Bigr)-\Bigl(\frac{2}{3v}+1\Bigr) =8+\frac{52}{3v}.
Agora em v:
\int_{1}^{2}\Bigl(8+\frac{52}{3v}\Bigr)\,dv =8\cdot(2-1)+\frac{52}{3}\int_{1}^{2}\frac{dv}{v} =8+\frac{52}{3}\ln2.

Resposta

8+\frac{52}{3}\ln2.

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