Questão 42. Resolver
(x-y-1) d x+(4 y+x-1) d y=0 .

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial de primeira ordem
(x - y - 1)\,dx + (4y + x - 1)\,dy = 0.
Queremos encontrar sua solução geral implícita. Vamos testar se ela é exata; como não for, buscaremos um fator integrante adequado, usando também uma mudança de variáveis para eliminar termos constantes.

Passo 2

Definindo
M(x,y)=x - y - 1, \quad N(x,y)=4y + x - 1,
vemos
\frac{\partial M}{\partial y}=-1, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=1,
logo \partial M/\partial y\neq \partial N/\partial x e a equação não é exata.

Passo 3

Note que M e N são funções afins em x,y. Podemos eliminar os termos constantes com a mudança
X = x - 1, \quad Y = y
pois então
x - y - 1 = X - Y, \quad 4y + x - 1 = X + 4Y,
e como dx=dX, dy=dY a E.D. torna‐se
(X - Y)\,dX + (X + 4Y)\,dY = 0,
que é homogênea de grau 1 em (X,Y).

Passo 4

Para uma equação homogênea de grau n em X,Y, um fator integrante é
\mu(X,Y)=\frac{1}{X\,M(X,Y)+Y\,N(X,Y)}.
Aqui M(X,Y)=X-Y e N(X,Y)=X+4Y, então
X\,M+Y\,N = X(X-Y)+Y(X+4Y)=X^2 +4Y^2
e
\mu=\frac{1}{X^2+4Y^2}.
Multiplicando a E.D. por \mu obtemos a forma exata
\frac{X - Y}{X^2+4Y^2}\,dX + \frac{X + 4Y}{X^2+4Y^2}\,dY = 0.

Passo 5

Buscamos \psi(X,Y) tal que
\frac{\partial\psi}{\partial X} =\frac{X - Y}{X^2+4Y^2}, \qquad \frac{\partial\psi}{\partial Y} =\frac{X + 4Y}{X^2+4Y^2}.
Integramos em X:
\psi(X,Y) =\int\frac{X - Y}{X^2+4Y^2}\,dX =\frac12\ln\bigl(X^2+4Y^2\bigr) -\frac12\arctan\!\Bigl(\frac{X}{2Y}\Bigr) + h(Y).
Derivando em Y e igualando a \partial\psi/\partial Y mostra que h'(Y)=0, isto é, h é constante.

Passo 6

A solução implícita é
\ln\bigl(X^2+4Y^2\bigr) -\arctan\!\Bigl(\frac{X}{2Y}\Bigr) =C,
onde X=x-1 e Y=y. Portanto, voltando às variáveis originais,
\boxed{ \ln\bigl((x-1)^2+4y^2\bigr) -\arctan\!\Bigl(\frac{x-1}{2y}\Bigr) =C }.

Resposta

\ln\bigl((x-1)^2+4y^2\bigr) -\arctan\!\Bigl(\frac{x-1}{2y}\Bigr) =C.

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