Questão 42. Resolver
Passo 1
O enunciado é a equação diferencial de primeira ordem
Queremos encontrar sua solução geral implícita. Vamos testar se ela é exata; como não for, buscaremos um fator integrante adequado, usando também uma mudança de variáveis para eliminar termos constantes.
Passo 2
Definindo
vemos
logo
e a equação não é exata.
Passo 3
Note que
e
são funções afins em
. Podemos eliminar os termos constantes com a mudança
pois então
e como
,
a E.D. torna‐se
que é homogênea de grau 1 em
.
Passo 4
Para uma equação homogênea de grau
em
, um fator integrante é
Aqui
e
, então
e
Multiplicando a E.D. por
obtemos a forma exata
Passo 5
Buscamos
tal que
Integramos em
:
Derivando em
e igualando a
mostra que
, isto é,
é constante.
Passo 6
A solução implícita é
onde
e
. Portanto, voltando às variáveis originais,