Questão 43: Enunciados da Segunda Lei da Termodinâmica

Demonstre a equivalência entre os enunciados da Segunda Lei da Termodinâmica.
(1) Se o enunciado de Kelvin for inválido, demonstre que o teorema de Carnot também não seria válido. Ou seja, se fosse possível converter completamente energia térmica em trabalho mecânico sem qualquer outro efeito, a eficiência da máquina de Carnot não seria a mesma.
(2) Se o enunciado de Clausius for inválido, demonstre que o teorema de Carnot também não seria válido. Ou seja, se fosse possível transferir calor de uma fonte fria para uma fonte quente sem nenhum outro efeito, a eficiência da máquina de Carnot não seria idêntica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o enunciado de Kelvin, o de Clausius e o teorema de Carnot são logicamente equivalentes.
Conteúdo: Segunda Lei da Termodinâmica.
Precisamos lembrar
  1. Enunciado de Kelvin: “Não é possível converter completamente calor em trabalho sem qualquer outro efeito.”
  2. Enunciado de Clausius: “Não é possível transferir calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente sem trabalho externo.”
  3. Teorema de Carnot: “Nenhum motor operando entre duas fontes de temperatura T_h e T_c pode ser mais eficiente que uma máquina de Carnot reversível, e todos os motores de Carnot reversíveis têm a mesma eficiência
\eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}.

Passo 2

Suponha que o enunciado de Kelvin seja inválido.
Então existe uma máquina K que absorve calor Q_h da fonte quente e converte-o integralmente em trabalho W, sem rejeitar calor para a fonte fria. Logo
\eta_K = \frac{W}{Q_h} = 1.
Mas a eficiência de Carnot entre as mesmas temperaturas é
\eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h} < 1.
Como \eta_K>\eta_C, teríamos um motor mais eficiente que Carnot, o que contradiz o teorema de Carnot. Portanto, se Kelvin for falso, o teorema de Carnot também não vale.

Passo 3

Suponha que o enunciado de Clausius seja inválido.
Então existe um dispositivo M que transfere calor Q_c da fonte fria para a fonte quente sem realizar trabalho externo.
Considere agora uma máquina de Carnot direta que absorve Q_h da fonte quente, rejeita
Q_c' = Q_h\,\frac{T_c}{T_h}
para a fria e produz trabalho
W = Q_h - Q_c' = Q_h\bigl(1 - \tfrac{T_c}{T_h}\bigr)\,.
Use o dispositivo M para devolver esse Q_c'=Q_c da fonte fria de volta à fonte quente sem gasto adicional de trabalho.
No conjunto dos dois aparelhos, o trabalho líquido extraído é W e o calor total tirado da fonte quente é
Q_h^{\rm tot} = Q_h + Q_c'\,.
A eficiência combinada é
\eta_{\rm comb} = \frac{W}{Q_h + Q_c'} = \frac{Q_h - Q_c'}{Q_h + Q_c'} = \frac{1 - \tfrac{T_c}{T_h}}{1 + \tfrac{T_c}{T_h}} > 1 - \frac{T_c}{T_h} = \eta_C.
Isso significa teríamos um motor com eficiência acima da de Carnot, violando o teorema de Carnot. Logo, se Clausius for falso, o teorema de Carnot falha.

Resposta

Mostramos que a negação do enunciado de Kelvin ou a do enunciado de Clausius permite construir máquinas com eficiência maior que \eta_C, contrariando o teorema de Carnot. Portanto, os três enunciados são logicamente equivalentes.

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