Questão 41: Redimento da máquina térmica II
Considere o seguinte ciclo para uma máquina térmica que utiliza um gás ideal e é composta por dois processos isobáricos e dois isovolumétricos. A partir do estado inicial a, ocorre uma expansão isobárica até o estado b. Em seguida, durante um processo isovolumétrico, sua pressão diminui até atingir o estado c. Posteriormente, o sistema é comprimido isobáricamente até o estado d. E, finalmente, retorna ao estado a por meio de um processo isovolumétrico. A temperatura mais alta que o sistema atinge é a do estado b, denotada por T_{b}=T_{1}. A temperatura mais baixa é a do estado d, denotada por T_{d}=T_{2}. As pressões são dadas por P_{a}=P_{b}=P_{1} e P_{c}=P_{d}=P_{2}.
(1) Determine a eficiência dessa máquina térmica \eta. Expresse seu resultado em função de T_{1}, T_{2}, P_{1}, P_{2} e da capacidade térmica a volume constante, C_{V}.
(2) Demonstre analiticamente que o rendimento da máquina é inferior ao da máquina de Carnot que opera entre T_{1} e T_{2}, ou seja,
\eta \leq \eta_{c}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo reversível de um gás ideal composto de quatro etapas:
a\to b: expansão isobárica a pressão P_{1} (calor entra).
b\to c: resfriamento isocórico em volume V_{b} (calor sai).
c\to d: compressão isobárica a pressão P_{2} (calor sai).
d\to a: aquecimento isocórico em volume V_{a} (calor entra).
As temperaturas nos vértices são \,T_{b}=T_{1}, \,T_{d}=T_{2},
e as pressões são P_{a}=P_{b}=P_{1}, P_{c}=P_{d}=P_{2}.
Conteúdo necessário:
– Equação de estado do gás ideal \,PV=nRT.
– Trabalho num ciclo \,W= área do retângulo no diagrama P\!-\!V.
– Calor em processo isobárico e isocórico:
Q_{\text{isobar}}=n\,C_{p}\,\Delta T, \quad Q_{\text{isochor}}=n\,C_{V}\,\Delta T.
– Definição de eficiência \displaystyle \eta=\frac{W}{Q_{\rm in}}.

Passo 2

Determine os volumes nos estados a e b via PV=nRT:
V_{b}=\frac{nR\,T_{1}}{P_{1}}, \qquad V_{a}=\frac{nR\,T_{2}}{P_{2}}.

Passo 3

Calcule o trabalho líquido do ciclo como área do retângulo P\!-\!V:
W=(P_{1}-P_{2})\,(V_{b}-V_{a}) =(P_{1}-P_{2})\Bigl(\frac{nR\,T_{1}}{P_{1}}-\frac{nR\,T_{2}}{P_{2}}\Bigr) =nR\,(P_{1}-P_{2})\Bigl(\frac{T_{1}}{P_{1}}-\frac{T_{2}}{P_{2}}\Bigr).

Passo 4

Identifique os processos que absorvem calor Q>0:
a\to b (isobárico a P_{1}):
Q_{ab}=n\,C_{p}\,(T_{1}-T_{a}),
d\to a (isocórico a V_{a}):
Q_{da}=n\,C_{V}\,(T_{a}-T_{2}).
Em a,
T_{a}=\frac{P_{1}\,V_{a}}{nR} =\frac{P_{1}}{nR}\,\frac{nR\,T_{2}}{P_{2}} =\frac{P_{1}}{P_{2}}\,T_{2}.
Logo o calor total absorvido é
Q_{\rm in} =Q_{ab}+Q_{da} =n\,C_{p}\bigl(T_{1}-\tfrac{P_{1}}{P_{2}}T_{2}\bigr) +n\,C_{V}\bigl(\tfrac{P_{1}}{P_{2}}T_{2}-T_{2}\bigr).
Podemos reescrever
Q_{\rm in} =n\Bigl[C_{V}(T_{1}-T_{2})+R\bigl(T_{1}-\tfrac{P_{1}}{P_{2}}T_{2}\bigr)\Bigr],
pois C_{p}=C_{V}+R.

Passo 5

A eficiência é
\eta=\frac{W}{Q_{\rm in}} =\frac{nR\,(P_{1}-P_{2})\bigl(\tfrac{T_{1}}{P_{1}}-\tfrac{T_{2}}{P_{2}}\bigr)} {\,n\bigl[C_{V}(T_{1}-T_{2})+R\bigl(T_{1}-\tfrac{P_{1}}{P_{2}}T_{2}\bigr)\bigr]\,}.
Cancelando n, fica a expressão final em função de T_{1},T_{2},P_{1},P_{2},C_{V}:
\boxed{ \eta =\frac{R\,(P_{1}-P_{2})\bigl(\frac{T_{1}}{P_{1}}-\frac{T_{2}}{P_{2}}\bigr)} {C_{V}(T_{1}-T_{2})+R\bigl(T_{1}-\tfrac{P_{1}}{P_{2}}T_{2}\bigr)}. }

Passo 6

Para mostrar \eta\le1-\tfrac{T_{2}}{T_{1}}, defina
a=\frac{P_{2}}{P_{1}},\quad b=\frac{T_{2}}{T_{1}},
e reescreva Q_{\rm out} e Q_{\rm in} em unidades de nT_{1}:
Q_{\rm out}=nT_{1}\bigl[C_{V}(1-a)+C_{p}(a-b)\bigr], \quad Q_{\rm in}=nT_{1}\bigl[C_{p}(1-\tfrac{b}{a})+C_{V}b(\tfrac{1}{a}-1)\bigr].
A condição \eta\le1-b equivale a
Q_{\rm out}\;\ge\;b\,Q_{\rm in}.
Calcula-se então
Q_{\rm out}-b\,Q_{\rm in} =nT_{1}\Bigl[C_{V}(1-b)^{2}+\frac{R}{a}(a-b)^{2}\Bigr]\ge0,
pois C_{V}>0, R>0 e a>0. Logo
Q_{\rm out}\ge b\,Q_{\rm in} \quad\Longrightarrow\quad \eta=1-\frac{Q_{\rm out}}{Q_{\rm in}}\le1-b =1-\frac{T_{2}}{T_{1}} =\eta_{c}.

Resposta

(1) \displaystyle \eta =\frac{R\,(P_{1}-P_{2})\bigl(\tfrac{T_{1}}{P_{1}}-\tfrac{T_{2}}{P_{2}}\bigr)} {C_{V}(T_{1}-T_{2})+R\bigl(T_{1}-\tfrac{P_{1}}{P_{2}}T_{2}\bigr)}.
(2) A manipulação algébrica acima mostra que \displaystyle \eta\le1-\frac{T_{2}}{T_{1}}=\eta_{c}.

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