(Questão 43 - Seção 3.4 - Magalhães) As variáveis aleatórias contínuas X e Y são independentes, identicamente distribuídas e têm densidade \operatorname{Exp}(1). Através do método do Jacobiano, obtenha a conjunta e as marginais de U=2 X+Y e V=2 X-Y e verifique se são independentes.
Passo 1
O enunciado diz que X e Y são independentes, identicamente distribuídas com densidade exponencial de parâmetro 1, ou seja,
f_{X,Y}(x,y)=e^{-x}\,e^{-y},\quad x>0,\;y>0.
Definimos as novas variáveis
U=2X+Y, \quad V=2X-Y,
e precisamos obter a densidade conjunta f_{U,V}(u,v) via o método do Jacobiano, depois as marginais f_U e f_V e, por fim, verificar se U e V são independentes.
Passo 2
Primeiro achamos a transformação inversa e o Jacobiano.
Resolvendo
Isso dá a densidade em duas peças:
para v\ge0, \,f_V(v)=\tfrac13e^{-v/2};
para v<0, \,f_V(v)=\tfrac13e^{\,v}.
Passo 5
Para U e V serem independentes precisaríamos ter
f_{U,V}(u,v)=f_U(u)\,f_V(v)
em todo o suporte. Aqui nem a forma f_{U,V}(u,v)=\frac14e^{-(3u-v)/4} se separa em produto de função só de u por função só de v, nem o suporte \{u>0,\,-u<v<u\} se escreve como produto de condições independentes. Logo U e Vnão são independentes.
Resposta
f_{U,V}\)(u,v)=\tfrac14\exp\bigl[-(3u-v)/4\bigr],\;u>0,\;-\(u<v\)<u;
\(f_U\)(u)=\(e^{-u/2}\)-\(e^{-u}\),\;u>0;
\(f_V\)(v)=\begin{cases}\\(tfrac13e^{-v/2},&v\ge0,\[4pt]\tfrac13e^{v},&v<0;\end{cases} U e V não são independentes.]