(Questão 43 - Seção 3.4 - Magalhães) As variáveis aleatórias contínuas X e Y são independentes, identicamente distribuídas e têm densidade \operatorname{Exp}(1). Através do método do Jacobiano, obtenha a conjunta e as marginais de U=2 X+Y e V=2 X-Y e verifique se são independentes.

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes, identicamente distribuídas com densidade exponencial de parâmetro 1, ou seja,
f_{X,Y}(x,y)=e^{-x}\,e^{-y},\quad x>0,\;y>0.
Definimos as novas variáveis
U=2X+Y, \quad V=2X-Y,
e precisamos obter a densidade conjunta f_{U,V}(u,v) via o método do Jacobiano, depois as marginais f_U e f_V e, por fim, verificar se U e V são independentes.

Passo 2

Primeiro achamos a transformação inversa e o Jacobiano.
Resolvendo
U=2X+Y,\quad V=2X-Y
temos
U+V=4X\\ \Rightarrow\\ X=\frac{U+V}{4}, \qquad U-V=2Y\\ \Rightarrow\\ Y=\frac{U-V}{2}.
O Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
J=\det \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[6pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} =\det \begin{pmatrix} \frac14 & \frac14\\[4pt] \frac12 & -\frac12 \end{pmatrix} =-\tfrac14,
logo \bigl|J\bigr|=\tfrac14.
As condições x>0 e y>0 viram
\frac{U+V}{4}>0\\ \Rightarrow\\ U+V>0, \quad \frac{U-V}{2}>0\\ \Rightarrow\\ U>V,
ou seja U>0 e -U<V<U.
Portanto
f_{U,V}(u,v) =f_{X,Y}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,\bigl|J\bigr| =\frac14\exp\!\Bigl[-\Bigl(\tfrac{U+V}{4}+\tfrac{U-V}{2}\Bigr)\Bigr] =\frac14e^{-\frac{3u-v}{4}},
para u>0 e -u<v<u, e zero caso contrário.]

Passo 3

Calculamos a marginal de U integrando em v\in(-u,u):
f_U(u) =\int_{-u}^{u}\frac14e^{-\frac{3u-v}{4}}\,dv =\frac14e^{-\frac{3u}{4}}\int_{-u}^{u}e^{\frac{v}{4}}\,dv =\frac14e^{-\frac{3u}{4}}\Bigl[4e^{\frac{v}{4}}\Bigr]_{-u}^{u} =e^{-\frac{3u}{4}}\bigl(e^{\frac{u}{4}}-e^{-\frac{u}{4}}\bigr).
Como e^{u/4}-e^{-u/4}=2\operatorname{sinh}(u/4), obtemos
f_U(u)=2e^{-\frac{3u}{4}}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{u}{4}\bigr) =e^{-\frac u2}-e^{-u}, \quad u>0.

Passo 4

Para f_V(v) integramos em u de |v| a \infty:
f_V(v) =\int_{|v|}^{\infty}\frac14e^{-\frac{3u-v}{4}}\,du =\frac14e^{\frac v4}\int_{|v|}^{\infty}e^{-\frac{3u}{4}}\,du =\frac14e^{\frac v4}\Bigl[\,-\frac{4}{3}e^{-\frac{3u}{4}}\Bigr]_{u=|v|}^{\infty} =\frac{1}{3}e^{\frac v4-\frac{3|v|}{4}}.
Isso dá a densidade em duas peças:
para v\ge0, \,f_V(v)=\tfrac13e^{-v/2};
para v<0, \,f_V(v)=\tfrac13e^{\,v}.

Passo 5

Para U e V serem independentes precisaríamos ter
f_{U,V}(u,v)=f_U(u)\,f_V(v)
em todo o suporte. Aqui nem a forma f_{U,V}(u,v)=\frac14e^{-(3u-v)/4} se separa em produto de função só de u por função só de v, nem o suporte \{u>0,\,-u<v<u\} se escreve como produto de condições independentes. Logo U e V não são independentes.

Resposta

f_{U,V}\)(u,v)=\tfrac14\exp\bigl[-(3u-v)/4\bigr],\;u>0,\;-\(u<v\)<u; \(f_U\)(u)=\(e^{-u/2}\)-\(e^{-u}\),\;u>0; \(f_V\)(v)=\begin{cases}\\(tfrac13e^{-v/2},&v\ge0,\[4pt]\tfrac13e^{v},&v<0;\end{cases} U e V não são independentes.]

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