Um banco resolveu apostar num serviço personalizado além do atendimento convencional. Em um dia sejam X e Y a proporção do tempo gasto com o serviço personalizado e com o serviço de caixa convencional, respectivamente. Vamos supor que ( X, Y ) têm função densidade de probabilidade conjunta dada por
f(x, y)=\frac{6}{5}\left(x+y^{2}\right) \boldsymbol{I}_{(0,1)}(x) \boldsymbol{I}_{(0,1)}(y)
Calcule a probabilidade de ambos os serviços não ocuparem mais do que 1 / 4 do tempo em um determinado dia, a marginal de X e a densidade condicional de X dado Y.

Passo 1

O enunciado define duas variáveis contínuas X e Y em (0,1) com densidade conjunta
f(x,y)=\frac{6}{5}\bigl(x+y^{2}\bigr)\,\mathbf{I}_{(0,1)}(x)\,\mathbf{I}_{(0,1)}(y).
Precisamos de:
  1. \Pr\bigl(X\le\tfrac14,\,Y\le\tfrac14\bigr).
  2. A marginal de X.
  3. A densidade condicional de X dado Y.

Passo 2

Para \Pr\bigl(X\le\tfrac14,\,Y\le\tfrac14\bigr) integramos em 0\le x\le\tfrac14, 0\le y\le\tfrac14:
\Pr=\int_{0}^{1/4}\!\int_{0}^{1/4}\frac{6}{5}(x+y^{2})\,dx\,dy =\frac{6}{5}\Bigl[\int_{0}^{1/4}\int_{0}^{1/4}x\,dx\,dy+\int_{0}^{1/4}\int_{0}^{1/4}y^{2}\,dx\,dy\Bigr].
Calculemos cada termo:
\int_{0}^{1/4}\int_{0}^{1/4}x\,dx\,dy =\int_{0}^{1/4}\Bigl[\frac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1/4}dy =\int_{0}^{1/4}\frac{1}{32}\,dy =\frac{1}{128},
\int_{0}^{1/4}\int_{0}^{1/4}y^{2}\,dx\,dy =\int_{0}^{1/4}y^{2}\bigl(\tfrac14\bigr)\,dy =\frac{1}{4}\,\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1/4} =\frac{1}{768}.
Logo,
\Pr=\frac{6}{5}\Bigl(\frac{1}{128}+\frac{1}{768}\Bigr) =\frac{6}{5}\cdot\frac{7}{768} =\frac{42}{3840} =\frac{7}{640}.

Passo 3

A marginal de X obtém-se integrando f(x,y) em y\in(0,1):
f_{X}(x)=\int_{0}^{1}\frac{6}{5}\bigl(x+y^{2}\bigr)dy =\frac{6}{5}\Bigl(x\cdot1+\int_{0}^{1}y^{2}dy\Bigr) =\frac{6}{5}\Bigl(x+\tfrac{1}{3}\Bigr) =\frac{6x}{5}+\frac{2}{5},\quad 0<x<1.

Passo 4

Para a condicional, primeiro a marginal de Y:
f_{Y}(y)=\int_{0}^{1}\frac{6}{5}(x+y^{2})\,dx =\frac{6}{5}\Bigl(\tfrac{1}{2}+y^{2}\Bigr) =\frac{3}{5}+\frac{6y^{2}}{5},\quad 0<y<1.
Então
f_{X\mid Y}(x\mid y) =\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)} =\frac{\frac{6}{5}\bigl(x+y^{2}\bigr)}{\frac{6}{5}\bigl(\tfrac12+y^{2}\bigr)} =\frac{x+y^{2}}{\tfrac12+y^{2}},\quad 0<x<1,\;0<y<1.

Resposta

\Pr(X\le\tfrac14,Y\le\tfrac14)=\dfrac{7}{640}.
A marginal de X é
f_{X}(x)=\frac{6x}{5}+\frac{2}{5},\quad 0<x<1.
A densidade condicional de X dado Y=y é
f_{X\mid Y}(x\mid y) =\frac{x+y^{2}}{\tfrac12+y^{2}},\quad 0<x<1,\;0<y<1.

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