Um banco resolveu apostar num serviço personalizado além do atendimento convencional. Em um dia sejam
e
a proporção do tempo gasto com o serviço personalizado e com o serviço de caixa convencional, respectivamente. Vamos supor que (
) têm função densidade de probabilidade conjunta dada por
Calcule a probabilidade de ambos os serviços não ocuparem mais do que
do tempo em um determinado dia, a marginal de
e a densidade condicional de
dado
.
Passo 1
O enunciado define duas variáveis contínuas
e
em
com densidade conjunta
Precisamos de:
-
. - A marginal de
. - A densidade condicional de
dado .
Passo 2
Para
integramos em
,
:
Calculemos cada termo:
Logo,
Passo 3
A marginal de
obtém-se integrando
em
:
Passo 4
Para a condicional, primeiro a marginal de
:
Então
Resposta
A marginal de
é
A densidade condicional de
dado
é