Questão 44. Considere a equação
y^{\prime}+a y=f(x),
onde f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} é uma funçÃo cpontínua satisfazendo |f(x)| \leq k, para alguma constante k>0.
a) Ache a solução \varphi(x) satisfazendo \varphi(0)=0.
b) Se a \neq 0, verifique que
|\varphi(x)| \leq \frac{k}{a}\left(1-e^{-a x}\right) .
c) Mostre que o lado direito da desigualdade do item b) é a solução da EDO:
y^{\prime}+a y=k

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
y'+a\,y=f(x),
com condição inicial \varphi(0)=0, onde f é contínua em [0,+\infty) e \lvert f(x)\rvert\le k. Para resolver, vamos usar o fator integrante \mu(x)=e^{a x}.

Passo 2

Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{a x}y' + a\,e^{a x}y = e^{a x}f(x),
que é equivalente a
\frac{d}{dx}\bigl(e^{a x}y\bigr)=e^{a x}f(x).

Passo 3

Integrando de 0 até x e usando \varphi(0)=0,
e^{a x}\varphi(x)-e^{a\cdot0}\varphi(0) =\int_{0}^{x}e^{a t}f(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x)=e^{-a x}\int_{0}^{x}e^{a t}f(t)\,dt.

Passo 4

Como \lvert f(t)\rvert\le k, temos
\lvert\varphi(x)\rvert \le e^{-a x}\int_{0}^{x}e^{a t}\lvert f(t)\rvert\,dt \le k\,e^{-a x}\int_{0}^{x}e^{a t}dt =\frac{k}{a}\bigl(1-e^{-a x}\bigr).

Passo 5

Defina \psi(x)=\tfrac{k}{a}(1-e^{-a x}). Então
\psi'(x)=k\,e^{-a x},
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\psi'(x)+a\,\psi(x) =k\,e^{-a x}+a\cdot\frac{k}{a}(1-e^{-a x}) =k.

Resposta

(a)
\varphi(x)=e^{-a x}\int_{0}^{x}e^{a t}f(t)\,dt.
(b)
\lvert\varphi(x)\rvert\le\frac{k}{a}\bigl(1-e^{-a x}\bigr).
(c) A função \psi(x)=\frac{k}{a}(1-e^{-a x}) satisfaz
\psi'+a\,\psi=k,
como pedido.

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