Questão 44. Seja D a região no espaço x y z definida pelas desigualdades
1 \leq x \leq 2, \quad 0 \leq x y \leq 2, \quad 0 \leq z \leq 1
Calcule \iiint_{E}\left(x^{2} y+3 x y z\right) d V aplicando a transformação u=x, v=x y e w=3 z e integrando sobre uma região apropriada no espaço u v w.

Passo 1

O enunciado define a região D no espaço (x,y,z) por
1 \le x \le 2,\quad 0 \le x\,y \le 2,\quad 0 \le z \le 1,
e pede o valor de
\iiint_{D}\bigl(x^{2}y+3xyz\bigr)\,dV
usando a transformação
u = x,\quad v = x\,y,\quad w = 3\,z.
Vamos aplicar a mudança de variáveis: encontrar o inverso, o jacobiano e o novo domínio em (u,v,w).

Passo 2

Invertendo a transformação temos
x = u,\quad y = \frac{v}{u},\quad z = \frac{w}{3}.
Das desigualdades originais segue
1 \le u \le 2,\quad 0 \le v \le 2,\quad 0 \le w \le 3.
O jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z) é
J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w}\\[6pt] \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix} = \frac1{3u}.
Logo
dV = \bigl|J\bigr|\,du\,dv\,dw = \frac{1}{3u}\,du\,dv\,dw.]

Passo 3

Expressamos o integrando em (u,v,w):
x^{2}y = u\,(x\,y) = u\,v,\quad 3xyz = 3\,(x\,y)\,z = 3\,v\cdot\frac{w}{3} = v\,w.
Assim
x^{2}y +3xyz = u\,v + v\,w.
A integral vira
\int_{u=1}^{2}\!\int_{v=0}^{2}\!\int_{w=0}^{3} \bigl(u\,v + v\,w\bigr)\,\frac{1}{3u}\,dw\,dv\,du =\int_{1}^{2}\!\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{3} \Bigl(\frac{v}{3} + \frac{v\,w}{3u}\Bigr)dw\,dv\,du.

Passo 4

Integramos primeiro em w:
\int_{0}^{3}\Bigl(\frac{v}{3} + \frac{v\,w}{3u}\Bigr)dw =\frac{v}{3}\,3 \;+\;\frac{v}{3u}\,\frac{3^{2}}{2} = v + \frac{3v}{2u}.
Logo a integral reduz a
\int_{u=1}^{2}\!\int_{v=0}^{2} \Bigl(v + \tfrac{3v}{2u}\Bigr)dv\,du.

Passo 5

Agora em v:
\int_{0}^{2}\Bigl(v + \frac{3v}{2u}\Bigr)dv =\int_{0}^{2}v\,dv \;+\;\frac{3}{2u}\,\int_{0}^{2}v\,dv =2 \;+\;\frac{3}{2u}\cdot 2 =2 + \frac{3}{u}.
Fica
\int_{1}^{2}\Bigl(2 + \frac{3}{u}\Bigr)du.

Passo 6

Por fim em u:
\int_{1}^{2}\Bigl(2 + \frac{3}{u}\Bigr)du =2\,(2-1) + 3\ln(2) =2 + 3\ln 2.

Resposta

\iiint_{D}\bigl(x^{2}y+3xyz\bigr)\,dV = 2 + 3\ln 2.

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