Questão 44. Seja D a região no espaço x y z definida pelas desigualdades
1 \leq x \leq 2, \quad 0 \leq x y \leq 2, \quad 0 \leq z \leq 1
Calcule \iiint_{E}\left(x^{2} y+3 x y z\right) d V aplicando a transformação u=x, v=x y e w=3 z e integrando sobre uma região apropriada no espaço u v w.
Passo 1
O enunciado define a região D no espaço (x,y,z) por
1 \le x \le 2,\quad 0 \le x\,y \le 2,\quad 0 \le z \le 1,
e pede o valor de
\iiint_{D}\bigl(x^{2}y+3xyz\bigr)\,dV
usando a transformação
u = x,\quad v = x\,y,\quad w = 3\,z.
Vamos aplicar a mudança de variáveis: encontrar o inverso, o jacobiano e o novo domínio em (u,v,w).
Passo 2
Invertendo a transformação temos
x = u,\quad y = \frac{v}{u},\quad z = \frac{w}{3}.
Das desigualdades originais segue
1 \le u \le 2,\quad 0 \le v \le 2,\quad 0 \le w \le 3.
O jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z) é