QUESTÃO 45

Considerando um sistema mecânico no qual \omega é a frequência de excitação e^{\omega_{n}} a sua frequência natural, 0 isolamento desse sistema da estrutura sobre a qual está montado, de modo que vibraçóes indesejáveis não sejam transmitidas à estrutura, somente é possível de ser feito se a razão de frequência r=\omega / \omega_{n} for:
(A) 1<r<\sqrt{2}
(B) r>\sqrt{2}
(C) r=1
(D) r<\sqrt{2}
(E) r<1

Passo 1

Recapitulando o enunciado: temos um sistema massa-mola submetido a uma excitação harmônica de frequência \omega e com frequência natural \omega_n. Queremos que a amplitude de vibração transmitida à estrutura seja menor que a amplitude de excitação, ou seja, a transmissibilidade T seja inferior a 1. Precisamos achar para quais valores de
r = \frac{\omega}{\omega_n}
isso acontece.

Passo 2

No caso sem amortecimento \zeta=0, a transmissibilidade mecânica (razão entre amplitude de saída e de entrada) é
T = \frac{1}{\bigl|1 - r^2\bigr|}.

Passo 3

Para ter isolamento, queremos
T < 1
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\frac{1}{\bigl|1 - r^2\bigr|} < 1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|1 - r^2\bigr| > 1.

Passo 4

Como r>0, quando r>1 temos \bigl|1 - r^2\bigr| = r^2 - 1. A condição
r^2 - 1 > 1
implica
r^2 > 2 \quad\Longrightarrow\quad r > \sqrt{2}.

Resposta

(B) r > \sqrt{2}

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