Essas duas expressões não são iguais como funções de u e y: a expressão de f_{U,Y} contém o fator multiplicativo y e o termo e^{-\frac{yu}{\alpha}} que liga u e y multiplicativamente; já f_U(u)f_Y(y) é produto de uma função de u que não envolve y por uma função de y que não envolve u. Portanto a igualdade não se mantém. Um contraexemplo numérico simples (por exemplo tomar \alpha=1, u=\tfrac12, y=1) leva a valores diferentes dos dois lados, confirmando que não são iguais em geral.
Conclusão: U e Y não são independentes.
Resposta
f_{U,Y}(u,y)=2\alpha^{-2}\, y\, e^{-\frac{y(1+u)}{\alpha}}\; I_{\{0<u<1,\;y>0\}}(u,y).\n f_U(u)=\dfrac{2}{(1+u)^2}\; I_{\{0<u<1\}}(u).\n f_Y(y)=\dfrac{2}{\alpha}\Bigl(e^{-\frac{y}{\alpha}}-e^{-\frac{2y}{\alpha}}\Bigr)\; I_{\{y>0\}}(y).\n U e Y não são independentes.