Suponha que duas variáveis aleatórias X_{1} e X_{2} tenham uma distribuição conjunta contínua com densidade dada por f_{X_{1}, X_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right) \boldsymbol{I}_{A}\left(x_{1}, x_{2}\right) \operatorname{com} A=\{(0,1) \times(0,1)\} . Determine a densidade de Y em cada caso: Y=\frac{X_{1}}{X_{2}}.
Passo 1
O enunciado fornece a densidade conjunta e pede a densidade marginal de Y=\dfrac{X_{1}}{X_{2}}.
Calculemos o Jacobiano. A matriz das derivadas parciais de (x_{1},x_{2}) em função de (y,v) é
\frac{\partial(x_{1},x_{2})}{\partial(y,v)}= \begin{pmatrix} \partial x_{1}/\partial y & \partial x_{1}/\partial v\\[4pt] \partial x_{2}/\partial y & \partial x_{2}/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v & y\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é v\cdot 1 - y\cdot 0 = v. Dentro do domínio temos v=x_{2}\in(0,1), logo |\det|=v.
Portanto
f_{Y,V}(y,v)=f_{X_{1},X_{2}}(yv,v)\cdot v.]
Passo 4
Precisamos agora identificar o suporte de (Y,V). Como 0<v<1 e 0<x_{1}=yv<1, temos também a condição yv<1, isto é v<1/y. Assim, para dado y>0, v varia em
0<v<\min\{1,\,1/y\}.
A densidade marginal de Y obtém-se integrando f_{Y,V} em v:
Calcule a integral \displaystyle\int_{0}^{a} v^{2}\,dv=\frac{a^{3}}{3}\). Aplicando com \(a=\min\{1,1/y\}\) obtemos
\[f_{Y}(y)=(y+1)\cdot\frac{1}{3}\left(\min\{1,\,1/y\}\right)^{3}.
Agora escrevemos isso em forma de função por partes, usando que