(Questão 48 - Seção 3.4 - Magalhães) Sejam X_{1}, X_{2} e X_{3} variáveis independentes e identicamente distribuídas com densidade Exponencial de parâmetro 1. Defina W_{1}=\frac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}, W_{2}=\frac{X_{1}+X_{2}}{X_{1}+X_{2}+X_{3}} e W_{3}=X_{1}+X_{2}+X_{3}.
(a) Obtenha a densidade conjunta de W_{1}, W_{2} e W_{3} e verifique se são independentes.;
(b) Mostre que W_{1} é U_{c}(0,1).
(c) Verifique que W_{3} segue o modelo Gama com parâmetros ( \alpha=3, \beta=1 ).

Passo 1

O enunciado dá três variáveis independentes e identicamente distribuídas com densidade Exponencial de parâmetro 1, isto é, para i=1,2,3,
f_{X_i}(x_i)=e^{-x_i},\qquad x_i\ge 0.
Definem-se as transformações
W_{1}=\frac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}},\qquad W_{2}=\frac{X_{1}+X_{2}}{X_{1}+X_{2}+X_{3}},\qquad W_{3}=X_{1}+X_{2}+X_{3}.
O que nos pedem:
(a) obter a densidade conjunta de \,W_{1},W_{2},W_{3}\, e verificar se são independentes;
(b) mostrar que W_{1} tem distribuição uniforme contínua em (0,1) (denotada U_c(0,1));
(c) verificar que W_{3} tem distribuição Gama com parâmetros \alpha=3 e \beta=1.
As informações relevantes dadas: independência e densidade exponencial de cada X_i; as transformações que definem W_1,W_2,W_3. Não há figura nem dados adicionais.

Passo 2

Primeiro encontramos a transformação inversa (w_1,w_2,w_3)\mapsto(x_1,x_2,x_3) para poder aplicar a fórmula de mudança de variáveis. Defina S_{12}=X_1+X_2. Então por definição S_{12}=W_2W_3. Assim
X_1 = W_1 S_{12} = W_1 W_2 W_3,
X_2 = (1-W_1) S_{12} = (1-W_1) W_2 W_3,
X_3 = W_3 - S_{12} = (1-W_2) W_3.
Portanto a inversa é
x_1 = w_1 w_2 w_3,\qquad x_2=(1-w_1)w_2 w_3,\qquad x_3=(1-w_2) w_3.
O domínio correspondente (onde x_i\ge0) é
0<w_1<1,\qquad 0<w_2<1,\qquad w_3>0.
Agora vamos calcular o jacobiano absoluto \left|\det\!\left(\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(w_1,w_2,w_3)}\right)\right|.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais. Lembrando x_1=w_1w_2w_3, x_2=(1-w_1)w_2w_3, x_3=(1-w_2)w_3, obtemos a matriz jacobiana
J=\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(w_1,w_2,w_3)} = \begin{pmatrix} \partial x_1/\partial w_1 & \partial x_1/\partial w_2 & \partial x_1/\partial w_3\\[4pt] \partial x_2/\partial w_1 & \partial x_2/\partial w_2 & \partial x_2/\partial w_3\\[4pt] \partial x_3/\partial w_1 & \partial x_3/\partial w_2 & \partial x_3/\partial w_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_2 w_3 & w_1 w_3 & w_1 w_2\\[4pt] - w_2 w_3 & (1-w_1) w_3 & (1-w_1) w_2\\[4pt] 0 & -w_3 & 1-w_2 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante (mostro passo a passo usando a terceira linha para expandir). Usando expansão pela terceira linha:
\det J = a_{3,2}\,(-1)^{3+2}\,M_{3,2} + a_{3,3}\,(-1)^{3+3}\,M_{3,3},
onde a_{3,2}=-w_3, a_{3,3}=1-w_2, M_{i,j} são os menores correspondentes. Portanto
\det J = (-w_3)(-1)M_{3,2} + (1-w_2)(+1)M_{3,3} = w_3 M_{3,2} + (1-w_2)M_{3,3}.
Calcule os menores (cada um é um determinante 2\times2):
M_{3,2}=\det\begin{pmatrix} w_2 w_3 & w_1 w_2 \\\\ -w_2 w_3 & (1-w_1)w_2\end{pmatrix} = w_2^2 w_3[(1-w_1)+w_1]=w_2^2 w_3.
M_{3,3}=\det\begin{pmatrix} w_2 w_3 & w_1 w_3 \\\\ -w_2 w_3 & (1-w_1)w_3\end{pmatrix} = w_2 w_3^2[(1-w_1)+w_1]=w_2 w_3^2.
Substituindo:
\det J = w_3\,(w_2^2 w_3) + (1-w_2)\,(w_2 w_3^2) = w_2 w_3^2\big(w_2 + (1-w_2)\big)= w_2 w_3^2.
Portanto o jacobiano absoluto é
\left|\det J\right| = w_2 w_3^2.]

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de mudança de variáveis: a densidade conjunta de (W_1,W_2,W_3) é
f_{W_1,W_2,W_3}(w_1,w_2,w_3) = f_{X_1,X_2,X_3}\big(x_1(w),x_2(w),x_3(w)\big)\cdot \left|\det J\right|.
Como X_1,X_2,X_3 são independentes exponenciais de parâmetro 1,
f_{X_1,X_2,X_3}(x_1,x_2,x_3)=e^{-(x_1+x_2+x_3)}.
Mas x_1+x_2+x_3=W_3. Logo
f_{W_1,W_2,W_3}(w_1,w_2,w_3)= e^{-w_3}\cdot (w_2 w_3^2),
com domínio
0<w_1<1,\qquad 0<w_2<1,\qquad w_3>0.
Escrevendo explícito:
\boxed{\,f_{W_1,W_2,W_3}(w_1,w_2,w_3)= w_2\,w_3^{2}\,e^{-w_3},\quad 0<w_1<1,\\\ 0<w_2<1,\\ w_3>0.\,}

Passo 5

Verificamos independência fatorizando em marginais. Calcule as marginais:
Marginal de W_1:
f_{W_1}(w_1)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\infty} w_2 w_3^2 e^{-w_3}\,dw_3\,dw_2.
Calcule as integrais separadamente: \int_{0}^{1} w_2\,dw_2=\tfrac{1}{2} e \int_{0}^{\infty} w_3^2 e^{-w_3}\,dw_3=\Gamma(3)=2. Então
f_{W_1}(w_1)=\tfrac{1}{2}\cdot 2 =1,\qquad 0<w_1<1.
Logo f_{W_1}(w_1)=1 em (0,1).
Marginal de W_2:
f_{W_2}(w_2)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\infty} w_2 w_3^2 e^{-w_3}\,dw_3\,dw_1 = w_2\cdot 1\cdot \int_{0}^{\infty} w_3^2 e^{-w_3}\,dw_3 = w_2\cdot 2 = 2w_2,
para 0<w_2<1.
Marginal de W_3:
f_{W_3}(w_3)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} w_2 w_3^2 e^{-w_3}\,dw_1\,dw_2 = w_3^2 e^{-w_3}\cdot\Big(\int_0^1 dw_1\Big)\Big(\int_0^1 w_2\,dw_2\Big) = w_3^2 e^{-w_3}\cdot 1\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}w_3^2 e^{-w_3},
para w_3>0.
Agora vemos que o produto das marginais é
f_{W_1}(w_1)\,f_{W_2}(w_2)\,f_{W_3}(w_3) = 1\cdot (2w_2)\cdot\Big(\tfrac{1}{2}w_3^2 e^{-w_3}\Big) = w_2 w_3^2 e^{-w_3},
que é exatamente a densidade conjunta encontrada. Pela condição de fatorização, concluímos que W_1,W_2,W_3 são independentes.

Passo 6

Agora explico de forma didática o que isso significa para cada parte pedida:
(b) Para W_1: como f_{W_1}(w_1)=1 para 0<w_1<1, isso é a densidade da distribuição contínua uniforme no intervalo (0,1). Em linguagem de distribuições usuais, W_1\sim\mathrm{Uniform}(0,1) ou equivalentemente W_1\sim\mathrm{Beta}(1,1). Intuição curta: a densidade conjunta não dependia de w_1, então, ao normalizar, w_1 ficou com densidade constante em (0,1).
(c) Para W_3: encontramos
f_{W_3}(w_3)=\tfrac{1}{2}w_3^2 e^{-w_3},\qquad w_3>0.
A densidade Gama com parâmetros \alpha (forma) e \beta (escala) é
f_{\text{Gamma}}(y)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} y^{\alpha-1} e^{-y/\beta},\qquad y>0.
Aqui \beta=1 e queremos \alpha=3 porque então
\frac{1}{\Gamma(3)1^3} w_3^{3-1} e^{-w_3} = \frac{1}{2} w_3^2 e^{-w_3},
já que \Gamma(3)=2. Portanto W_3\sim\mathrm{Gamma}(\alpha=3,\beta=1).

Resposta

(a) f_{W_1,W_2,W_3}(w_1,w_2,w_3)=w_2\,w_3^{2}\,e^{-w_3},\quad 0<w_1<1,\\\ 0<w_2<1,\\ w_3>0. Sim, W_1,W_2,W_3 são independentes.
(b) W_1\sim U_c(0,1) (ou W_1\sim\mathrm{Uniform}(0,1)).
(c) W_3\sim\mathrm{Gamma}(\alpha=3,\beta=1) com densidade f_{W_3}(w_3)=\tfrac{1}{2}w_3^{2}e^{-w_3},\\ w_3>0.

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