(Questão 48 - Seção 3.4 - Magalhães) Sejam X_{1}, X_{2} e X_{3} variáveis independentes e identicamente distribuídas com densidade Exponencial de parâmetro 1. Defina W_{1}=\frac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}, W_{2}=\frac{X_{1}+X_{2}}{X_{1}+X_{2}+X_{3}} e W_{3}=X_{1}+X_{2}+X_{3}.
(a) Obtenha a densidade conjunta de W_{1}, W_{2} e W_{3} e verifique se são independentes.;
(b) Mostre que W_{1} é U_{c}(0,1).
(c) Verifique que W_{3} segue o modelo Gama com parâmetros ( \alpha=3, \beta=1 ).
Passo 1
O enunciado dá três variáveis independentes e identicamente distribuídas com densidade Exponencial de parâmetro 1, isto é, para i=1,2,3,
O que nos pedem:
(a) obter a densidade conjunta de \,W_{1},W_{2},W_{3}\, e verificar se são independentes;
(b) mostrar que W_{1} tem distribuição uniforme contínua em (0,1) (denotada U_c(0,1));
(c) verificar que W_{3} tem distribuição Gama com parâmetros \alpha=3 e \beta=1.
As informações relevantes dadas: independência e densidade exponencial de cada X_i; as transformações que definem W_1,W_2,W_3. Não há figura nem dados adicionais.
Passo 2
Primeiro encontramos a transformação inversa (w_1,w_2,w_3)\mapsto(x_1,x_2,x_3) para poder aplicar a fórmula de mudança de variáveis. Defina S_{12}=X_1+X_2. Então por definição S_{12}=W_2W_3. Assim
que é exatamente a densidade conjunta encontrada. Pela condição de fatorização, concluímos que W_1,W_2,W_3 são independentes.
Passo 6
Agora explico de forma didática o que isso significa para cada parte pedida:
(b) Para W_1: como f_{W_1}(w_1)=1 para 0<w_1<1, isso é a densidade da distribuição contínua uniforme no intervalo (0,1). Em linguagem de distribuições usuais, W_1\sim\mathrm{Uniform}(0,1) ou equivalentemente W_1\sim\mathrm{Beta}(1,1). Intuição curta: a densidade conjunta não dependia de w_1, então, ao normalizar, w_1 ficou com densidade constante em (0,1).