Sejam X, Y\) e \(Z\) variáveis aleatórias e a função abaixo: \[f(x, y, z)= \begin{cases}k x y^{2} z, & \text { se } 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq \sqrt{2} \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) Encontre o valor de k\] para que a função acima seja função densidade de probabilidade. (b) Encontre a função densidade marginal de \(X. Esta função é densidade de alguma distribuição conhecida?

Passo 1

O enunciado dá a função conjunta de densidade
f(x,y,z)=\begin{cases}k\,x\,y^{2}\,z,&\text{se }0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le\sqrt{2},\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á
As perguntas são:
  1. (a) Determinar o valor de k para que f seja uma função densidade de probabilidade (ou seja, para que a integral total seja 1).
  2. (b) Encontrar a função densidade marginal de X, f_X(x), e dizer se essa densidade corresponde a alguma distribuição conhecida.
Informações relevantes dadas: a expressão analítica de f no retângulo do espaço (x,y,z) com x\in[0,1], y\in[0,1], z\in[0,\sqrt{2}]; fora desse retângulo f=0.]

Passo 2

Condição para ser densidade: a integral tripla de f em todo o espaço deve ser 1. Vou escrever isso explicitamente e separar as integrais (podemos usar a propriedade de separação porque os limites são retângulos):
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{2}} k\,x\,y^{2}\,z \,dz\,dy\,dx = 1.
Aqui expliquei a fórmula básica: integrar a densidade sobre todo o espaço dá 1; como f é zero fora do cubo indicado, os limites ficam 0 a 1 para x,y e 0 a \sqrt{2} para z.

Passo 3

Vou calcular a integral em z primeiro. A integral de z é simples: a primitiva de z é z^{2}/2. Então
\int_{0}^{\sqrt{2}} z \,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{2}}{2}-0 = \frac{2}{2}=1.
Pequeno lembrete didático: para integrar z usamos \int z\,dz = z^{2}/2; avaliar nos limites 0 e \sqrt{2} 1.

Passo 4

Agora a integral em y. A primitiva de y^{2} é y^{3}/3. Assim
\int_{0}^{1} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-0 = \frac{1}{3}.
Explicação: regra básica de potências \int y^{n}dy = y^{n+1}/(n+1) para n\neq -1.

Passo 5

Agora a integral em x. A primitiva de x é x^{2}/2. Assim
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Portanto, juntando os resultados (integrais de x, y e z) a integral total vale
k \cdot \left(\int_{0}^{1} x\,dx\right)\cdot\left(\int_{0}^{1} y^{2}\,dy\right)\cdot\left(\int_{0}^{\sqrt{2}} z\,dz\right) = k\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot 1 = k\cdot \frac{1}{6}.
A condição de normalização exige k\cdot \frac{1}{6}=1. Portanto
k = 6.

Passo 6

Passo para encontrar a densidade marginal de X. Teoria: a densidade marginal de X é obtida integrando a densidade conjunta em todas as variáveis que não são X. Ou seja,
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y,z)\,dy\,dz.
Como f é zero fora do intervalo dado, isso fica
f_{X}(x)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{2}} k\,x\,y^{2}\,z \,dz\,dy,
válido para 0\le x\le 1 (fora desse intervalo f_X(x)=0).

Passo 7

Calculo efetivo de f_X(x). Já calculamos as integrais das variáveis y e z antes:
\int_{0}^{1} y^{2}\,dy = \frac{1}{3},\qquad \int_{0}^{\sqrt{2}} z\,dz = 1.
Logo
f_{X}(x)= k\,x \cdot \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{k}{3}\,x,\qquad 0\le x\le 1.
Substituindo k=6 (do Passo 5),
f_{X}(x)=2x,\qquad 0\le x\le 1,
e f_X(x)=0 para x fora de [0,1].

Passo 8

Identificação da distribuição conhecida. A função
f_{X}(x)=2x,\;0\le x\le 1
é exatamente a densidade da distribuição Beta com parâmetros \alpha=2 e \beta=1. Para ver isso, a densidade geral Beta é
\text{Beta}(\alpha,\beta):\quad f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)},\quad 0<x<1,
onde B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}. Para \alpha=2,\beta=1 temos x^{2-1}(1-x)^{0}=x e B(2,1)=\tfrac{\Gamma(2)\Gamma(1)}{\Gamma(3)}=\tfrac{1\cdot1}{2}=1/2, portanto 1/B(2,1)=2 e a densidade fica 2x. Conclusão: X\sim\text{Beta}(2,1).
Pequeno reforço final (motivacional): você conseguiu seguir as integrais passo a passo — é sempre essa rotina nas provas: normalizar integrando sobre todo o suporte e marginalizar integrando sobre as outras variáveis. Respira, tá indo bem!

Resposta

k=6
f_{X}(x)=2x,\;0\le x\le 1 (e f_X(x)=0 caso contrário). Esta é a distribuição \text{Beta}(2,1).

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