Sejam X, Y\) e \(Z\) variáveis aleatórias e a função abaixo:
\[f(x, y, z)= \begin{cases}k x y^{2} z, & \text { se } 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq \sqrt{2} \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) Encontre o valor de k\] para que a função acima seja função densidade de probabilidade.
(b) Encontre a função densidade marginal de \(X. Esta função é densidade de alguma distribuição conhecida?
(a) Determinar o valor de k para que f seja uma função densidade de probabilidade (ou seja, para que a integral total seja 1).
(b) Encontrar a função densidade marginal de X, f_X(x), e dizer se essa densidade corresponde a alguma distribuição conhecida.
Informações relevantes dadas: a expressão analítica de f no retângulo do espaço (x,y,z) com x\in[0,1], y\in[0,1], z\in[0,\sqrt{2}]; fora desse retângulo f=0.]
Passo 2
Condição para ser densidade: a integral tripla de f em todo o espaço deve ser 1. Vou escrever isso explicitamente e separar as integrais (podemos usar a propriedade de separação porque os limites são retângulos):
Aqui expliquei a fórmula básica: integrar a densidade sobre todo o espaço dá 1; como f é zero fora do cubo indicado, os limites ficam 0 a 1 para x,y e 0 a \sqrt{2} para z.
Passo 3
Vou calcular a integral em z primeiro. A integral de z é simples: a primitiva de z é z^{2}/2. Então
\int_{0}^{\sqrt{2}} z \,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{2}}{2}-0 = \frac{2}{2}=1.
Pequeno lembrete didático: para integrar z usamos \int z\,dz = z^{2}/2; avaliar nos limites 0 e \sqrt{2} dá 1.
Passo 4
Agora a integral em y. A primitiva de y^{2} é y^{3}/3. Assim
A condição de normalização exige k\cdot \frac{1}{6}=1. Portanto
k = 6.
Passo 6
Passo para encontrar a densidade marginal de X. Teoria: a densidade marginal de X é obtida integrando a densidade conjunta em todas as variáveis que não são X. Ou seja,
onde B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}. Para \alpha=2,\beta=1 temos x^{2-1}(1-x)^{0}=x e B(2,1)=\tfrac{\Gamma(2)\Gamma(1)}{\Gamma(3)}=\tfrac{1\cdot1}{2}=1/2, portanto 1/B(2,1)=2 e a densidade fica 2x. Conclusão: X\sim\text{Beta}(2,1).
Pequeno reforço final (motivacional): você conseguiu seguir as integrais passo a passo — é sempre essa rotina nas provas: normalizar integrando sobre todo o suporte e marginalizar integrando sobre as outras variáveis. Respira, tá indo bem!
Resposta
k=6
f_{X}(x)=2x,\;0\le x\le 1 (e f_X(x)=0 caso contrário). Esta é a distribuição \text{Beta}(2,1).