Questão 48. Seja n \in \mathbb{Z}_{+}livre de quadrados, isto é n não é divisível por nenhum quadrado perfeito. Mostre que \mathbb{Z}_{n} \cong \mathbb{Z}_{p_{1}} \times \mathbb{Z}_{p_{2}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_{r}}, onde p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{r} são todos números primos presentes na fatoração de n. Além disso, conclua que o produto cartesiano de corpos não necessariamente é um corpo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se n é um inteiro positivo livre de quadrados (ou seja, na sua fatoração em primos
n = p_{1}p_{2}\cdots p_{r},
os p_{i} são distintos), então existe um isomorfismo de anéis \mathbb{Z}_{n}\cong \mathbb{Z}_{p_{1}}\times \mathbb{Z}_{p_{2}}\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_{r}}.
O conteúdo principal aqui é o Teorema Chinês dos Restos (CRT) para anéis \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, e vamos precisar também saber que cada \mathbb{Z}_{p_{i}} é um corpo. Na segunda parte, devemos concluir que o produto cartesiano de corpos (como anéis) não é necessariamente um corpo, exibindo que surgem divisores de zero.

Passo 2

Primeiro lembramos o CRT no caso de dois módulos coprimos. Se m,n\in\mathbb{Z}_{+} e \gcd(m,n)=1, definimos
\varphi\colon \mathbb{Z}_{mn}\to \mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n},
por
\varphi\bigl([a]_{mn}\bigr) = \bigl([a]_{m},[a]_{n}\bigr).
Verificações:
  1. Bem-definido e homomorfismo de anéis porque redução módulo preserva soma e produto.
  2. Injetivo: se \varphi([a]_{mn})=(0,0) então m\mid a e n\mid a, como \gcd(m,n)=1 segue mn\mid a, logo [a]_{mn}=0.
  3. Sobrejetivo: dado \bigl([b]_{m},[c]_{n}\bigr), pelos coeficientes de Bézout existem x,y tais que xm+yn=1. Então
a = xb\,n + yc\,m
satisfaz a\equiv b\pmod m e a\equiv c\pmod n, mostrando \varphi([a]_{mn})=(b,c).
Portanto \varphi é um isomorfismo de anéis.

Passo 3

Para estender ao caso de r fatores, aplicamos recursivamente o CRT. Suponha que já sabemos
\mathbb{Z}_{p_{1}\cdots p_{k}}\;\cong\;\mathbb{Z}_{p_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{p_{k}}
e que \gcd(p_{1}\cdots p_{k},p_{k+1})=1. Então, pelo caso de dois módulos,
\mathbb{Z}_{(p_{1}\cdots p_{k})\,p_{k+1}} \;\cong\; \mathbb{Z}_{p_{1}\cdots p_{k}} \times \mathbb{Z}_{p_{k+1}} \;\cong\; \bigl(\mathbb{Z}_{p_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{p_{k}}\bigr) \times \mathbb{Z}_{p_{k+1}}.
Fazendo isso até k=r, concluímos
\mathbb{Z}_{p_{1}p_{2}\cdots p_{r}} \;\cong\; \mathbb{Z}_{p_{1}}\times \mathbb{Z}_{p_{2}}\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_{r}}.

Passo 4

Como n é livre de quadrados, sua fatoração é exatamente
n = p_{1}p_{2}\cdots p_{r}
com p_{i} primos distintos. Pelos passos anteriores, temos o isomorfismo de anéis desejado:
\mathbb{Z}_{n} \;\cong\; \mathbb{Z}_{p_{1}}\times \mathbb{Z}_{p_{2}}\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_{r}}.

Passo 5

Cada anel \mathbb{Z}_{p_{i}} é de fato um corpo, pois p_{i} é primo. Porém, o produto cartesiano de dois (ou mais) corpos não é um corpo em geral. Basta notar que, no produto \mathbb{Z}_{p_{1}}\times \mathbb{Z}_{p_{2}}, os elementos (1,0) e (0,1) são ambos não nulos, mas
(1,0)\cdot(0,1) = (1\cdot 0,\;0\cdot 1) = (0,0).
Isso mostra a existência de divisores de zero. Num corpo todo elemento não zero tem inverso, mas (1,0) não tem inverso porque, se existisse (a,b) tal que (1,0)(a,b)=(1,1) (o neutro), teríamos 0\cdot b=1 em \mathbb{Z}_{p_{2}}, o que é impossível. Logo o produto não é corpo.

Resposta

\displaystyle \mathbb{Z}_{n}\cong \mathbb{Z}_{p_{1}}\times \mathbb{Z}_{p_{2}}\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_{r}} e, embora cada \mathbb{Z}_{p_{i}} seja corpo, seu produto cartesiano contém divisores de zero e portanto não é um corpo.

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