Questão 48. Seja
livre de quadrados, isto é
não é divisível por nenhum quadrado perfeito. Mostre que
, onde
são todos números primos presentes na fatoração de
. Além disso, conclua que o produto cartesiano de corpos não necessariamente é um corpo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se
é um inteiro positivo livre de quadrados (ou seja, na sua fatoração em primos
os
são distintos), então existe um isomorfismo de anéis
.
O conteúdo principal aqui é o Teorema Chinês dos Restos (CRT) para anéis , e vamos precisar também saber que cada
é um corpo. Na segunda parte, devemos concluir que o produto cartesiano de corpos (como anéis) não é necessariamente um corpo, exibindo que surgem divisores de zero.
O conteúdo principal aqui é o Teorema Chinês dos Restos (CRT) para anéis
Passo 2
Primeiro lembramos o CRT no caso de dois módulos coprimos. Se
e
, definimos
por
Verificações:
- Bem-definido e homomorfismo de anéis porque redução módulo preserva soma e produto.
- Injetivo: se
então e , como segue , logo . - Sobrejetivo: dado
, pelos coeficientes de Bézout existem tais que . Então
satisfaz
e
, mostrando
.
Portanto
é um isomorfismo de anéis.
Passo 3
Para estender ao caso de
fatores, aplicamos recursivamente o CRT. Suponha que já sabemos
e que
. Então, pelo caso de dois módulos,
Fazendo isso até
, concluímos
Passo 4
Como
é livre de quadrados, sua fatoração é exatamente
com
primos distintos. Pelos passos anteriores, temos o isomorfismo de anéis desejado:
Passo 5
Cada anel
é de fato um corpo, pois
é primo. Porém, o produto cartesiano de dois (ou mais) corpos não é um corpo em geral. Basta notar que, no produto
, os elementos
e
são ambos não nulos, mas
Isso mostra a existência de divisores de zero. Num corpo todo elemento não zero tem inverso, mas
não tem inverso porque, se existisse
tal que
(o neutro), teríamos
em
, o que é impossível. Logo o produto não é corpo.