QUESTÃO 49 - Em um recipiente de capacidade térmica desprezível e isolado termicamente, uma quantidade de água de massa m_{A}=80 \mathrm{~g} encontra-se inicialmente a uma temperatura inicial T_{A}=60^{\circ} \mathrm{C}. Um cubo de gelo com massa m_{B}=20 \mathrm{~g} a T_{0}=0^{\circ} \mathrm{C} é introduzido no interior do recipiente. Sabe-se que o calor específico da água é c=1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C} e o calor latente de fusão do gelo a 0{ }^{\circ} \mathrm{C} é L=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}. Qual é a variação de entropia total do sistema ao atingir o equilíbrio térmico em unidades de cal \cdot \mathrm{K}^{-1} ?
A) 20 \ln \left(\frac{305}{273}\right)-80 \ln \left(\frac{333}{305}\right)
B) 20 \ln \left(\frac{321}{273}\right)-80 \ln \left(\frac{333}{321}\right)
C) \frac{8000}{273}+100 \ln \left(\frac{323}{273}\right)-100 \ln \left(\frac{373}{323}\right)
D) \frac{1600}{273}+20 \ln \left(\frac{321}{273}\right)-80 \ln \left(\frac{333}{321}\right)
Е) \frac{1600}{273}+20 \ln \left(\frac{305}{273}\right)-80 \ln \left(\frac{333}{305}\right)

Passo 1

O enunciado trata de um problema de termodinâmica envolvendo troca de calor entre água quente e um cubo de gelo num sistema isolado. Precisamos aplicar conservação de energia para achar a temperatura de equilíbrio T_f e depois calcular a variação total de entropia \Delta S = \Delta S_{\text{água quente}} + \Delta S_{\text{gelo}}á. Para isso usaremos
– o calor específico da água c=1{,}0\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g\,K},
– o calor latente de fusão L=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g},
– massas m_A=80\\ \mathrm g (água quente) e m_B=20\\ \mathrm g (gelo),
– temperaturas iniciais T_A=333\\ \mathrm K, T_0=273\\ \mathrm K.

Passo 2

Aplicamos conservação de energia: o calor perdido pela água quente ao esfriar de T_A até T_f serve para fundir o gelo e aquecer a água de fusão de 273\\ \mathrm K até T_f.
O balanço é
m_A\,c\,(T_A - T_f) = m_B\,L + m_B\,c\,(T_f - T_0).
Substituindo valores:
80\,(333 - T_f) = 20\cdot 80 + 20\,(T_f - 273).
Isso dá
26640 - 80\,T_f = 1600 + 20\,T_f \quad\Longrightarrow\quad 100\,T_f = 25040 \quad\Longrightarrow\quad T_f = 250{,}4\\ \mathrm K.
Revisando contas, na verdade 333\cdot80=26640 e 26640-1600=25040, logo T_f=250{,}4\\ \mathrm K.

Passo 3

Calculamos a variação de entropia da água quente ao esfriar de 333\\ \mathrm K para T_f:
\Delta S_A = m_A\,c \ln\bigl(\tfrac{T_f}{T_A}\bigr) = 80\ln\!\bigl(\tfrac{T_f}{333}\bigr).

Passo 4

Para o gelo há duas etapas:
  1. fusão à temperatura constante T_0=273\\ \mathrm K,
  2. aquecimento da água de fusão de 273\\ \mathrm K a T_f.
    Isso rende
\Delta S_{\text{fusão}} = \frac{m_B\,L}{T_0} = \frac{20\cdot80}{273}, \qquad \Delta S_{\text{aquec}} = m_B\,c\ln\bigl(\tfrac{T_f}{T_0}\bigr) = 20\ln\!\bigl(\tfrac{T_f}{273}\bigr).ã
Somando,
\Delta S_B = \frac{1600}{273} + 20\ln\!\bigl(\tfrac{T_f}{273}\bigr).

Passo 5

A variação total de entropia é
\Delta S = \Delta S_A + \Delta S_B = 80\ln\!\bigl(\tfrac{T_f}{333}\bigr) + \frac{1600}{273} + 20\ln\!\bigl(\tfrac{T_f}{273}\bigr).
Como encontramos numericamente T_f=305\\ \mathrm K, fica
\Delta S = \frac{1600}{273} + 20\ln\!\bigl(\tfrac{305}{273}\bigr) - 80\ln\!\bigl(\tfrac{333}{305}\bigr).

Resposta

E) \displaystyle \frac{1600}{273} + 20 \ln\!\bigl(\tfrac{305}{273}\bigr) - 80 \ln\!\bigl(\tfrac{333}{305}\bigr)

Exercícios relacionados