QUESTÃO 51 - Resolvendo a integral definida \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{5}(x) \cdot \cos ^{6}(x) d x, encontra-se como resultado:
A) 16 / 693.
B) 15 / 602.
C) 14 / 601.
D) 13 / 406.
E) 12 / 667.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \sin^{5}(x)\,\cos^{6}(x)\,dx
Isso envolve potências de seno e cosseno, e vamos usar simetria do intervalo e fórmulas de redução para integrais do tipo
I(m,n)=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{m}(x)\,\cos^{n}(x)\,dx.

Passo 2

Note que para qualquer função f com
f(\pi - x)=f(x),
temos
\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx=2\int_{0}^{\pi/2}f(x)\,dx.
No nosso caso
f(x)=\sin^{5}(x)\cos^{6}(x)
é par em relação a \pi/2, pois \sin(\pi - x)=\sin x e \cos(\pi - x)=-\cos x mas \cos^{6} elimina o sinal. Logo
\int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\,\cos^{6}x\,dx =2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{5}x\,\cos^{6}x\,dx =2\,I(5,6).

Passo 3

Usamos a fórmula de redução em m: para m\ge2,
I(m,n) =\int_{0}^{\pi/2}\sin^{m}x\,\cos^{n}x\,dx =\frac{m-1}{m+n}\;I(m-2,n).
Aplicando duas vezes para ir de m=5 a m=1:
I(5,6) =\frac{5-1}{5+6}\,I(3,6) =\frac{4}{11}\,I(3,6),
I(3,6) =\frac{3-1}{3+6}\,I(1,6) =\frac{2}{9}\,I(1,6).

Passo 4

Agora usamos a redução em n: para n\ge2,
I(m,n) =\frac{n-1}{m+n}\;I(m,n-2).
Queremos I(1,6). Aplicando três vezes:
I(1,6) =\frac{6-1}{1+6}\,I(1,4) =\frac{5}{7}\,I(1,4),
I(1,4) =\frac{4-1}{1+4}\,I(1,2) =\frac{3}{5}\,I(1,2),
I(1,2) =\frac{2-1}{1+2}\,I(1,0) =\frac{1}{3}\,I(1,0).

Passo 5

O caso base é
I(1,0)=\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx =\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi/2} =1.
Daí
I(1,2)=\frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{3}, \quad I(1,4)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{5}, \quad I(1,6)=\frac{5}{7}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{7}.
Voltando em cascata:
I(3,6)=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{7}=\frac{2}{63}, \quad I(5,6)=\frac{4}{11}\cdot\frac{2}{63}=\frac{8}{693}.

Passo 6

Como
\int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\,\cos^{6}x\,dx =2\,I(5,6) =2\cdot\frac{8}{693} =\frac{16}{693},
a alternativa correta é a letra A.

Resposta

A) \displaystyle \frac{16}{693}

Exercícios relacionados