Questão 1. (4pts) (Petrobras 2012) A difusão unidimensional de uma substância A ocorre através de uma membrana plana, que é formada por um materíal polimérico B , de espessura L igual a 1 milímetro. As concentrações molares da substâncía A nas superfícies interna e externa da membrana são iguais a 0,04 \mathrm{kmol} / \mathrm{m}^{3} e 0,01 \mathrm{kmol} / \mathrm{m}^{3}, respectivamente. Sabendo-se que o coeficiente de difusão da substâncía A no materíal polimérico B (Dab) é igual a 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, o fluxo molar de A através da membrana, expresso em kmol/(s \mathrm{m}^{2} ), é igual a:
a) \left.\left.\left.\left.3 \times 10^{-8} \mathrm{~b}\right) 4 \times 10^{-8} \mathrm{c}\right) 3 \times 10^{-11} \mathrm{~d}\right) 4 \times 10^{-11} \mathrm{e}\right) 3 \times 10^{-14}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Espessura da membrana: L=1\\ \text{mm}=1\times10^{-3}\\ \text{m}.
    • Concentração na superfície interna: C_{\text{in}}=0,04\\ \mathrm{kmol/m^{3}}.
    • Concentração na superfície externa: C_{\text{out}}=0,01\\ \mathrm{kmol/m^{3}}.
    • Coeficiente de difusão: D_{AB}=10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o fluxo molar de A através da membrana, expresso em \mathrm{kmol/(s\\ m^{2})}. (É uma questão de escolha múltipla; as alternativas estão dadas.)

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para difusão unidimensional em regime estacionário e com difusividade constante, aplica-se a Lei de Fick (primeira lei):
J_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx},
onde:
  • J_A é o fluxo molar de A (positividade depende da convenção de sinal),
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão (unidade \mathrm{m^{2}/s}),
  • C_A é a concentração molar de A (unidade \mathrm{kmol/m^{3}}),
  • x é a coordenada espacial (unidade \mathrm{m}).
  • Se a difusividade é constante e o sistema está em regime estacionário entre duas superfícies com concentrações fixas, o perfil de concentração é linear. Assim:
\frac{dC_A}{dx}=\frac{C_{\text{out}}-C_{\text{in}}}{L}.
Substituindo na Lei de Fick e trocando o sinal para obter o fluxo no sentido de C_{\text{in}} para C_{\text{out}}:
J_A = D_{AB}\,\frac{C_{\text{in}}-C_{\text{out}}}{L}.
Explicação simples: o fluxo é proporcional à diferença de concentração e inversamente proporcional à espessura; D_{AB} é a constante de proporcionalidade que mede a facilidade da difusão.

Passo 3

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo (contas fáceis de fazer na prova):
J_A = D_{AB}\,\frac{C_{\text{in}}-C_{\text{out}}}{L} = 10^{-9}\,\frac{0,04-0,01}{1\times10^{-3}}.
Calcular a diferença de concentrações:
0,04-0,01=0,03.
Continuando:
J_A = 10^{-9}\,\frac{0,03}{10^{-3}} =10^{-9}\times\left(\frac{0,03}{0,001}\right) =10^{-9}\times 30.
Portanto:
J_A = 30\times10^{-9}=3\times10^{-8}\\ \mathrm{kmol\,m^{-2}\,s^{-1}}.
(Unidades: D_{AB} em \mathrm{m^{2}/s} vezes concentração em \mathrm{kmol/m^{3}} dividido por L em \mathrm{m} resulta em \mathrm{kmol/(m^{2}\,s)}, que é o desejado.)

Passo 4

Interpretação final e escolha da alternativa:
  • O fluxo calculado é \,3\times10^{-8}\\ \mathrm{kmol/(s\\ m^{2})}.
  • Isso corresponde à alternativa (a).
Força aí — a conta é direta: aplicar Fick, montar o quociente (C_{\text{in}}-C_{\text{out}})/L e multiplicar por D. Dá pra fazer rápido na prova.

Resposta

a) 3\times10^{-8}\\ \mathrm{kmol\,m^{-2}\,s^{-1}}

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