Questão 2. (4pts) (Petrobras 2018) A concentração de um gás no ar de uma sala cresce uniformemente a uma taxa de \left(1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}\right) / \mathrm{m} ao longo de uma dada direção. Este gradiente causa um fluxo do gás que tem por módulo 1,0 \times 10^{-13} \mathrm{~kg} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~s}\right). O valor do coeficiente de difusão, em \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}, é dado por:
a) 1 \times 10^{-13}
b) 1 \times 10^{-12}
c) 1 \times 10^{-1}
d) 1 \times 10^{-10}
e) 1 \times 10^{-9}

Passo 1

O enunciado pede o valor do coeficiente de difusão. Informações dadas:
  • Gradiente de concentração ao longo de uma direção: \left(1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}\right)/\mathrm{m}.
  • Módulo do fluxo do gás: 1,0\times10^{-13}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s}).
    O objetivo é calcular o coeficiente de difusão em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (Fick — lei de difusão de primeira lei):
\mathbf{J} = -D\,\nabla c,
onde:
  • \mathbf{J} é o fluxo vetorial de massa (unidade: \mathrm{kg}/(\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s}));
  • D é o coeficiente de difusão (unidade: \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s});
  • \nabla c é o gradiente espacial da concentração (unidade: massa por volume por comprimento, aqui \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{4}).
    No enunciado são dados magnitudes; portanto, usando módulos:
J = D\,\bigl|\nabla c\bigr|\quad\Rightarrow\quad D=\dfrac{J}{\bigl|\nabla c\bigr|}.
Nota: o sinal negativo indica direção (fluxo de maior para menor concentração); para o coeficiente usamos magnitudes.

Passo 3

Converter unidades do gradiente para SI compatível com o fluxo (kg):
O enunciado dá o gradiente em \left(1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}\right)/\mathrm{m}.
Converter gramas para quilogramas:
1,0\\ \mathrm{g}=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
Portanto o gradiente em unidades SI é
\bigl|\nabla c\bigr|=1,0\times10^{-3}\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{4}}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula D=J/\bigl|\nabla c\bigr| com os valores numéricos:
J=1,0\times10^{-13}\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s}},\qquad \bigl|\nabla c\bigr|=1,0\times10^{-3}\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{4}}.
Fazendo a divisão:
D=\dfrac{1,0\times10^{-13}}{1,0\times10^{-3}}\\ \dfrac{\mathrm{kg}/(\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s})}{\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{4}} = \dfrac{1,0}{1,0}\times10^{-13-(-3)}\\ \dfrac{\mathrm{m}^{4}}{\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s}}.
Simplificando potências de dez e unidades:
D=1,0\times10^{-10}\\ \dfrac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}}.

Passo 5

Verificação dimensional rápida: as massas ( \mathrm{kg}) cancelam; restam \mathrm{m}^{4}/(\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s})=\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}, que é a unidade correta para D. O valor numérico obtido corresponde a 1,0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.

Resposta

d) 1,0\times10^{-10}

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