Questão 50. Seja p: I \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua. Considere a EDO:
y^{\prime}+p(x) y=0 .
a) Mostre que a função nula \varphi \equiv 0 é uma solução.
b) Se \varphi é qualquer solução de (5) satisfazendo \varphi\left(x_{0}\right)=0 para algum ponto x_{0} \in I, mostre que \varphi \equiv 0 é a solução trivial.
c) Se \varphi, \psi são soluções de (5) satisfazendo \varphi\left(x_{0}\right)=\psi\left(x_{0}\right) para algum x_{0} \in I, mostre que \varphi(x)=\psi(x) para todo x \in I.
d) Se \varphi é uma solução não trivial de (5), e \psi é qualquer outra solução, mostre que \varphi(x)=c \psi(x), \forall x \in I, onde c é uma constante.

Passo 1

O enunciado trata da EDO linear homogênea de 1ª ordem
y' + p(x)\,y = 0,
com p\colon I\to\mathbb{R} contínua. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a forma geral das soluções e daí verificar os itens (a)–(d).

Passo 2

Encontramos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int p(x)\,\mathrm{d}x\Bigr).
Multiplicando a EDO por \mu(x)$, obtém-se \[\mu(x)\,y' + \mu(x)\,p(x)\,y = \bigl(\mu(x)\,y\bigr)' = 0.\] Integrando, vem \[\mu(x)\,y = C,\] onde \(C é constante, ou seja
y(x) = C\,\exp\!\Bigl(-\int p(x)\,\mathrm{d}x\Bigr).)

Passo 3

(a) Para C=0 temos
y(x) = 0,
que é exatamente a função nula \varphi\equiv 0. Logo ela satisfaz a EDO e é solução.

Passo 4

(b) Se \varphi é solução e \varphi(x_{0})=0, então na forma geral \varphi(x)=C\,e^{-\int p} vale
\varphi(x_{0}) = C\,e^{-\int^{x_{0}}p} = 0 \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Assim \varphi(x)\equiv 0 em todo I: é a solução trivial.

Passo 5

(c) Se \varphi,\,\psi são soluções com \varphi(x_{0})=\psi(x_{0}), então elas têm constantes C_{1},C_{2} na forma geral
\varphi(x)=C_{1}e^{-\int p},\quad \psi(x)=C_{2}e^{-\int p}
e em x_{0}
C_{1}e^{-\int^{x_{0}}p} = C_{2}e^{-\int^{x_{0}}p} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=C_{2}.
Daí \varphi(x)=\psi(x) para todo x\in I.

Passo 6

(d) Se \varphi é não trivial, então seu C_{1}\neq 0. Para outra solução \psi com constante C_{2}, define-se
c = \frac{C_{1}}{C_{2}},
de modo que
\varphi(x) = C_{1}e^{-\int p} = c\,\bigl(C_{2}e^{-\int p}\bigr) = c\,\psi(x).
Logo \varphi(x)=c\,\psi(x) em todo I.

Resposta

(a) \varphi\equiv 0 é solução.
(b) Toda solução que anula num ponto é identicamente zero.
(c) Solução de valor inicial dado é única.
(d) Duas soluções quaisquer são proporcionais.

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