Questão 50. Seja
uma função contínua. Considere a EDO:
a) Mostre que a função nula
é uma solução.
b) Se
é qualquer solução de (5) satisfazendo
para algum ponto
, mostre que
é a solução trivial.
c) Se
são soluções de (5) satisfazendo
para algum
, mostre que
para todo
.
d) Se
é uma solução não trivial de (5), e
é qualquer outra solução, mostre que
, onde
é uma constante.
b) Se
c) Se
d) Se
Passo 1
O enunciado trata da EDO linear homogênea de 1ª ordem
com
contínua. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a forma geral das soluções e daí verificar os itens (a)–(d).
Passo 2
Encontramos o fator integrante
Multiplicando a EDO por
é constante, ou seja
Passo 3
(a) Para
temos
que é exatamente a função nula
. Logo ela satisfaz a EDO e é solução.
Passo 4
(b) Se
é solução e
, então na forma geral
vale
Assim
em todo
: é a solução trivial.
Passo 5
(c) Se
são soluções com
, então elas têm constantes
na forma geral
e em
Daí
para todo
.
Passo 6
(d) Se
é não trivial, então seu
. Para outra solução
com constante
, define-se
de modo que
Logo
em todo
.
Resposta
(a)
é solução.
(b) Toda solução que anula num ponto é identicamente zero.
(c) Solução de valor inicial dado é única.
(d) Duas soluções quaisquer são proporcionais.
(b) Toda solução que anula num ponto é identicamente zero.
(c) Solução de valor inicial dado é única.
(d) Duas soluções quaisquer são proporcionais.