Questão 51. Resolva a EDO
y^{\prime}+2 y=f(x),-\infty<x<\infty
onde f(x)=1-|x| para |x| \leq 1, e f(x)=0 se |x|>1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
y'(x) + 2\,y(x) = f(x),\quad -\infty<x<\infty,
onde
f(x)= \begin{cases} 1 - |x|, & |x|\le1,\\\\ 0, & |x|>1. \end{cases}
O conteúdo é método do fator integrante para EDOs lineares e, como f é definida por partes, precisaremos calcular a integral de convolução em cada região.

Passo 2

Aplicamos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y(x)\bigr)=e^{2x}f(x).
Integramos ambos os lados para achar a solução geral:

Passo 3

A solução geral é
y(x)=e^{-2x}\Bigl(C + \int_{x_0}^{\,x} e^{2s}f(s)\,ds\Bigr),
onde C é constante arbitrária e x_0 pode ser escolhido convenientemente. Tomando x_0=-\infty e impondo que y seja limitada em -\infty, temos a solução particular
y_p(x)=\int_{-\infty}^{\,x}e^{-2(x-s)}\,f(s)\,ds.
Como f(s)=0 fora de [-1,1], a integral reduz–se a \int_{-1}^x.

Passo 4

Para x< -1 temos \{s\le x\}\subset\{s<-1\}, logo f(s)=0 em toda a região de integração e assim
y_p(x)=0,\quad x<-1.

Passo 5

Para -1\le x\le0, em [-1,x] vale |s|=-s, então f(s)=1+s e
y_p(x) = \int_{-1}^{x} e^{-2(x-s)}(1+s)\,ds = e^{-2x}\int_{-1}^{x}e^{2s}(1+s)\,ds.
Calcula-se
\int e^{2s}(1+s)\,ds = e^{2s}\Bigl(\tfrac12s+\tfrac14\Bigr)+\text{const.}
Logo
\int_{-1}^{x}e^{2s}(1+s)\,ds =e^{2x}\Bigl(\tfrac12x+\tfrac14\Bigr) -\underbrace{e^{-2}\Bigl(-\tfrac14\Bigr)}_{+\tfrac14e^{-2}},
e
y_p(x) =e^{-2x}\Bigl[e^{2x}\bigl(\tfrac12x+\tfrac14\bigr)+\tfrac14e^{-2}\Bigr] =\tfrac12x+\tfrac14+\tfrac14e^{-2(x+1)}.

Passo 6

Para 0\le x\le1 dividimos \int_{-1}^x=\int_{-1}^0+\int_{0}^x. Em [-1,0] já usamos f(s)=1+s, e em [0,x] temos |s|=s logo f(s)=1-s. Com as primitivas
\int e^{2s}(1+s)\,ds =e^{2s}\bigl(\tfrac12s+\tfrac14\bigr),\quad \int e^{2s}(1-s)\,ds =e^{2s}\bigl(\tfrac34-\tfrac12s\bigr),
obtemos
\int_{-1}^{0}e^{2s}(1+s)\,ds =\tfrac14+\tfrac14e^{-2}, \quad \int_{0}^{x}e^{2s}(1-s)\,ds =e^{2x}\bigl(\tfrac34-\tfrac12x\bigr)-\tfrac34.
Somando e multiplicando por e^{-2x},
y_p(x) =\Bigl(\tfrac34-\tfrac12x\Bigr) -\tfrac12e^{-2x} +\tfrac14e^{-2(x+1)}, \quad 0\le x\le1.

Passo 7

Para x>1 a região não varia mais: integramos de -1 até 1. Já vimos
\int_{-1}^{0}e^{2s}(1+s)\,ds =\tfrac14+\tfrac14e^{-2}, \quad \int_{0}^{1}e^{2s}(1-s)\,ds =\tfrac14e^{2}-\tfrac34.
Logo
\int_{-1}^{1}e^{2s}f(s)\,ds =-\tfrac12+\tfrac14\bigl(e^{2}+e^{-2}\bigr),
e
y_p(x) =e^{-2x}\Bigl[-\tfrac12+\tfrac14(e^{2}+e^{-2})\Bigr] =\tfrac{(e-e^{-1})^2}{4}\,e^{-2x}, \quad x>1.

Passo 8

A solução geral da EDO é
y(x)=Ce^{-2x}+y_p(x),
com y_p dada por
y_p(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\[6pt] \tfrac12x+\tfrac14+\tfrac14e^{-2(x+1)}, & -1\le x\le0,\\[6pt] \tfrac34-\tfrac12x-\tfrac12e^{-2x}+\tfrac14e^{-2(x+1)}, & 0\le x\le1,\\[6pt] \tfrac{(e-e^{-1})^2}{4}\,e^{-2x}, & x>1. \end{cases}]

Resposta

\boxed{y(x)=Ce^{-2x}+ \begin{cases} 0, & x<-1,\\[6pt] \tfrac12x+\tfrac14+\tfrac14e^{-2(x+1)}, & -1\le x\le0,\\[6pt] \tfrac34-\tfrac12x-\tfrac12e^{-2x}+\tfrac14e^{-2(x+1)}, & 0\le x\le1,\\[6pt] \tfrac{(e-e^{-1})^2}{4}\,e^{-2x}, & x>1. \end{cases}}]

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