Questão 50. Seja p um número primo fixado. Mostre que S=\{n \in \mathbb{Z}: p \nmid n\} é um sistema multiplicativo em \mathbb{Z}. Determine S^{-1} \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado fixa um primo p e define o subconjunto \displaystyle S=\{n\in\mathbb{Z}\mid p\nmid n\}
em \mathbb{Z}. Precisamos (a) mostrar que S é um sistema multiplicativo em \mathbb{Z} e (b) determinar o anel de localizações S^{-1}\mathbb{Z}.

Passo 2

Para ser sistema multiplicativo em \mathbb{Z} é preciso verificar três coisas:
  1. 1\in S. De fato, p\nmid1, logo 1\in S.
  2. Se m,n\in S então mn\in S. Como p\nmid m e p\nmid n, a primalidade de p implica p\nmid(mn).
  3. 0\notin S porque p\mid0.
    Portanto S é fechado em produto, contém a unidade e exclui zero: é um sistema multiplicativo.

Passo 3

Por definição de localização, cada elemento de S^{-1}\mathbb{Z} é uma classe de pares (a,s) com a\in\mathbb{Z}, s\in S, sujeito à relação
(a,s)\sim(a',s') \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,t\in S:\;t\,(a s' - a' s)=0\text{ em }\mathbb{Z}.
Convenientemente escrevemos a classe de (a,s) como \dfrac{a}{s}.

Passo 4

Como \mathbb{Z} é domínio e S\subseteq\mathbb{Z}\setminus\{0\}, a localização se injeta em \mathbb{Q}. Especificamente, toda fração \tfrac{a}{s} com s\in S é um racional cujo denominador não é divisível por p. Assim
S^{-1}\mathbb{Z} \;\cong\; \Bigl\{\tfrac{a}{b}\in\mathbb{Q}\;\Big|\;a\in\mathbb{Z},\;b\in\mathbb{Z},\;p\nmid b\Bigr\}.

Resposta

S^{-1}\mathbb{Z} =\Bigl\{\tfrac{a}{b}\in\mathbb{Q}\;\Big|\;a\in\mathbb{Z},\;b\in\mathbb{Z},\;p\nmid b\Bigr\}.

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