Questão 50. Seja
um número primo fixado. Mostre que
é um sistema multiplicativo em
. Determine
.
Passo 1
O enunciado fixa um primo
e define o subconjunto
em . Precisamos (a) mostrar que
é um sistema multiplicativo em
e (b) determinar o anel de localizações
.
em
Passo 2
Para ser sistema multiplicativo em
é preciso verificar três coisas:
-
. De fato, , logo . - Se
então . Como e , a primalidade de implica . -
porque .
Portantoé fechado em produto, contém a unidade e exclui zero: é um sistema multiplicativo.
Passo 3
Por definição de localização, cada elemento de
é uma classe de pares
com
,
, sujeito à relação
Convenientemente escrevemos a classe de
como
.
Passo 4
Como
é domínio e
, a localização se injeta em
. Especificamente, toda fração
com
é um racional cujo denominador não é divisível por
. Assim