Seja A um anel comutativo com identidade. Mostre que os seguintes subconjuntos são sistemas multiplicativos em A.
(b) S=\{1+a: a \in I\}, onde I \subset A é ideal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num anel comutativo com unidade A, o conjunto
S = \{\,1 + a : a \in I\}
é um sistema multiplicativo.
Aqui “sistema multiplicativo” significa que devemos verificar duas coisas:
  1. 1\in S.
  2. Se x,y\in S então xy\in S.

Passo 2

Para ver que 1\in S, basta notar que I é ideal, logo 0\in I. Então
1 = 1 + 0
e 0\in I implica 1=1+0\in S.

Passo 3

Agora seja x,y\in S. Então existem a,b\in I tais que
x = 1 + a \quad\text{e}\quad y = 1 + b.
Como I é ideal, temos a+b\in I e ab\in I, e portanto
a + b + ab \;\in\; I.
Multiplicando
xy \;=\;(1 + a)(1 + b) \;=\;1 + a + b + ab,
vemos que xy = 1 + c com c = a+b+ab\in I. Logo xy\in S.

Resposta

S é um sistema multiplicativo em A.

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