O conteúdo é método do fator integrante para EDOs lineares e, como f é definida por partes, precisaremos calcular a integral de convolução em cada região.
Passo 2
Aplicamos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y(x)\bigr)=e^{2x}f(x).
Integramos ambos os lados para achar a solução geral:
onde C é constante arbitrária e x_0 pode ser escolhido convenientemente. Tomando x_0=-\infty e impondo que y seja limitada em -\infty, temos a solução particular
y_p(x)=\int_{-\infty}^{\,x}e^{-2(x-s)}\,f(s)\,ds.
Como f(s)=0 fora de [-1,1], a integral reduz–se a \int_{-1}^x.
Passo 4
Para x< -1 temos \{s\le x\}\subset\{s<-1\}, logo f(s)=0 em toda a região de integração e assim
y_p(x)=0,\quad x<-1.
Passo 5
Para -1\le x\le0, em [-1,x] vale |s|=-s, então f(s)=1+s e