Questão 51. Seja A anel comutativo com identidade e P \subset A ideal. Mostre que
a) S=A \backslash P é um sistema multiplicativo em A se, e somente se, P é ideal primo.
b) O conjunto
M_{P}=\left\{\frac{a}{s}: a \in P \text { e } s \in P\right\}
é o único ideal maximal no anel S^{-1} A=A_{P}.

Passo 1

O enunciado dá um anel comutativo A com identidade e um ideal P \subset A.
Conteúdo: caracterização de ideal primo via sistemas multiplicativos e teoria de localização de anéis.
Objetivo da parte (a): mostrar que
S = A \setminus P
é um sistema multiplicativo em A se, e somente se, P é primo.
Objetivo da parte (b): no anel localizado
S^{-1}A = A_{P},
mostrar que
M_{P} = \bigl\{\,\tfrac{a}{s}\colon a\in P,\;s\in S\bigr\}
é o único ideal maximal.

Passo 2

Definição de sistema multiplicativo em A: um subconjunto S\subset A tal que
  1. \,1\in S,
  2. se s,t\in S então st\in S.
    Mostramos “ \Rightarrow”: suponha P primo. Então 1\notin P (ideal primo é próprio), logo 1\in S. Se s,t\in S então s,t\notin P; como P é primo, st\notin P, isto é, st\in S. Assim S é multiplicativo.
    Mostramos “ \Leftarrow”: suponha que S=A\setminus P seja multiplicativo. Primeiro, 1\in S implica 1\notin P, logo P\neq A. Agora, se ab\in P e ambos a e b não pertencem a P, então a,b\in S e pelo fecho multiplicativo ab\in S, uma contradição. Logo, em toda fatoração ab\in P exige a\in P ou b\in P, e P é primo.

Passo 3

Construção da localização S^{-1}A: elementos são frações \tfrac{a}{s} com a\in A, s\in S e frações equivalentes por regra usual. Definimos
M_{P} = \bigl\{\tfrac{a}{s}\colon a\in P,\\ s\in S\bigr\}.
É direto verificar que M_{P} é um ideal de S^{-1}A: soma e produto por qualquer \tfrac{x}{t}\in S^{-1}A permanecem na forma \tfrac{pa'}{s'} com p\in P.

Passo 4

Para ver que M_{P} é maximal, consideramos o homomorfismo natural
\varphi\colon A \longrightarrow S^{-1}A / M_{P},\qquad a\mapsto \bigl[\tfrac{a}{1}\bigr].
A imagem de \varphi gera o quociente e \ker\varphi = P. Pelo Teorema do Primeiro Isomorfismo,
S^{-1}A / M_{P}\;\cong\; A/P.
Como P é primo, A/P é corpo, logo S^{-1}A / M_{P} é corpo e M_{P} é maximal.

Passo 5

Unicidade de M_{P}: há bijeção inclusiva-reversora entre Ideais de A disjuntos de S e Ideais de S^{-1}A. Qualquer ideal maximal em S^{-1}A vem de um ideal primo Q\subset A com Q\cap S=\emptyset. Mas S = A\setminus P, então a única possibilidade é Q=P. Portanto o único ideal maximal de S^{-1}A é M_{P}.

Resposta

(a) S=A\setminus P é sistema multiplicativo em A se, e somente se, P é primo.
(b) M_{P}=\{\,a/s: a\in P,\\ s\in S\} é o único ideal maximal em A_{P}=S^{-1}A.

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